prufer序列

基础知识

\(prufer\) 序列是一种 \(n\) 个节点的有标号无根树与 \(n-2\) 的序列的双射关系

树转序列：每次选出编号最小的 叶节点，将其删去，并将其父亲加入序列，直到还剩两个点
线性构建：

void T_P(){
	for(int i=1;i<n;i++)fa[i]=read(),deg[fa[i]]++;
	for(int i=1,j=1;i<=n-2;i++,j++){
		while(deg[j])j++;
		p[i]=fa[j];
		while(i<=n-2&&(!(--deg[p[i]]))&&p[i]<j)p[i+1]=fa[p[i]],i++;
	}
}

序列转树：枚举最小的点，连向序列的第一个元素

void P_T(){
	for(int i=1;i<=n-2;i++)p[i]=read(),deg[p[i]]++;p[n-1]=n;
	for(int i=1,j=1;i<=n-1;i++,j++){
		while(deg[j])j++;
		fa[j]=p[i];
		while(i<n-1&&(!(--deg[p[i]]))&&p[i]<j)fa[p[i]]=p[i+1],i++;
	}
}

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prufer序列的性质

• 由于映射关系唯一，那么树的个数由序列的个数决定，于是 \(n\) 个节点的有标号无根树个数为 \(n^{n-2}\)
• 最后剩下的两个点，一定有一个是编号最大的点
• 考虑最后剩下的一条边一定是编号最大点向其父亲（或其最大编号的儿子）的连边，那么序列里的剩下 \(n-2\) 个数恰好对应树里剩下的边
• 一个度数为 \(deg\) 的节点其在 \(prufer\) 序列里出现 \(deg-1\) 次

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经典例题

P2290 [HNOI2004]树的计数

考虑由性质可知，对于点 \(i\)，在序列中出现 \(deg_i-1\) 次
序列总长度为 \(n-2\)，每个点出现 \(deg_i-1\) 次，相当于多重集的排列，答案即为：\(\frac{n-2}{\prod deg_i-1}\)

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CF156D Clues

设每个连通块点的个数为 \(s_i\)，那么如果这个连通块向外总度数为 \(d_i\)，那么方案数为 \(s_i^{d_i}\)
那么对于每个 \(d_i\) 序列，答案为 \(\displaystyle\binom{k-2}{d_1,d_2,...,d_k}\prod s_i^{d_i}\)
发现和多项式定理类似
于是转化为 \((d_1+d_2+...+d_k)^{k-2}\prod s_i\)
即 \(n^{k-2}\prod s_i\)

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P5454 [THUPC2018]城市地铁规划

可以看做背包模型，将每个点看做价值为 \(f(deg_i)\)，体积为 \(deg_i-1\) 的物品去填充体积为 \(n-2\) 的背包

背包过程中可以顺便记录转移，之后用 \(prufer\) 将序列转化成树