prufer序列

基础知识

$prufer$ 序列是一种 $n$ 个节点的有标号无根树与 $n-2$ 的序列的双射关系

树转序列：每次选出编号最小的 叶节点，将其删去，并将其父亲加入序列，直到还剩两个点
线性构建：

void T_P(){
	for(int i=1;i<n;i++)fa[i]=read(),deg[fa[i]]++;
	for(int i=1,j=1;i<=n-2;i++,j++){
		while(deg[j])j++;
		p[i]=fa[j];
		while(i<=n-2&&(!(--deg[p[i]]))&&p[i]<j)p[i+1]=fa[p[i]],i++;
	}
}

序列转树：枚举最小的点，连向序列的第一个元素

void P_T(){
	for(int i=1;i<=n-2;i++)p[i]=read(),deg[p[i]]++;p[n-1]=n;
	for(int i=1,j=1;i<=n-1;i++,j++){
		while(deg[j])j++;
		fa[j]=p[i];
		while(i<n-1&&(!(--deg[p[i]]))&&p[i]<j)fa[p[i]]=p[i+1],i++;
	}
}

prufer序列的性质

由于映射关系唯一，那么树的个数由序列的个数决定，于是 $n$ 个节点的有标号无根树个数为 $n^{n-2}$
最后剩下的两个点，一定有一个是编号最大的点
考虑最后剩下的一条边一定是编号最大点向其父亲（或其最大编号的儿子）的连边，那么序列里的剩下 $n-2$ 个数恰好对应树里剩下的边
一个度数为 $deg$ 的节点其在 $prufer$ 序列里出现 $deg-1$ 次

经典例题

P2290 [HNOI2004]树的计数

考虑由性质可知，对于点 $i$ ，在序列中出现 $deg_i-1$ 次
序列总长度为 $n-2$ ，每个点出现 $deg_i-1$ 次，相当于多重集的排列，答案即为： $\frac{n-2}{\prod deg_i-1}$

CF156D Clues

设每个连通块点的个数为 $s_i$ ，那么如果这个连通块向外总度数为 $d_i$ ，那么方案数为 $s_i^{d_i}$
那么对于每个 $d_i$ 序列，答案为 $\displaystyle\binom{k-2}{d_1,d_2,...,d_k}\prod s_i^{d_i}$
发现和多项式定理类似
于是转化为 $(d_1+d_2+...+d_k)^{k-2}\prod s_i$
即 $n^{k-2}\prod s_i$