线性基学习笔记

对于一个 $m$ 维向量组，每一个向量表示为形如 $(x_1,x_2,...,x_m)$
如果存在一个向量可以用其他向量表示出来，称为线性相关
否则，称为线性无关
所有向量组可以形成的向量集合称为线性空间
求出向量组的一个线性无关的子集，其可以组成的线性空间不变，称为线性空间的一组基

对于一个向量组，对于其基的求解可以用高斯消元来实现
证明高斯消元的操作对线性空间的大小没有影响：

交换两行：显然没有影响
加上另一行的数倍：相当于加上另一个向量，那么这个向量本身可以用新形成的向量表示出来，也没有影响

于是通过高斯消元求出最大的基底

虽然在 OI 中实数的基底很不常见，但是这是基底的本质

比如这道题可以作为模板：P3265 [JLOI2015]装备购买

题目中线性无关的限制太明显了，提示需要构建基底
这道题里由于有了价格的限制，可以先排个序，再把高斯消元的过程动态进行
具体来说是这样的：从大到小枚举每一位，如果某一维还没有基，那么可以直接把这个向量作为那一维的基
否则，将这一维和这一维的基加减抵消成零

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=505;
int n,m,ans,ans1,b[maxn];
double eps=1e-5;
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
struct Node{
	double a[maxn];
	int val;
}p[maxn];
bool operator < (Node a,Node b){
	return a.val<b.val;
}
double ffabs(double x){
	return x<0?-x:x;
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>p[i].a[j];
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i].val=read();
	sort(p+1,p+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=1;j--){
			if(ffabs(p[i].a[j])<eps)continue;
			if(!b[j]){
				b[j]=i;ans+=p[i].val;ans1++;
				break;
			}
			double chu=p[i].a[j]/p[b[j]].a[j];
			for(int k=j;k>=1;k--){
				p[i].a[k]-=chu*p[b[j]].a[k];
			}
		}
	}
	cout<<ans1<<" "<<ans;
	return 0;
}

在 OI 中线性基几乎特指在异或中的应用
以模板题为例，要求最大异或子集
可以模仿构建基底的过程，从高到低确定每一位，根据二进制的性质，这样一定是最优的
根据基底的本质来理解，如果构建出线性基，相当于可以异或出原来的数能异或得到的所有数
那么答案直接在线性基上贪心选取每一位即可

最后注意一点：大于的优先级是高于异或的哦~

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,x,a[100],ans;
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=read();
		for(int j=50;j>=0;j--){
			if((x>>j)&1){
				if(a[j])x^=a[j];
				else{
					a[j]=x;
					break;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=50;i>=0;i--)if(!((ans>>i)&1))ans^=a[i];
	cout<<ans;
	return 0;
}