矩阵优化

矩阵运算

加减：要求行列数一致，对应位相加减

乘：对于 $A * B$，答案 $ans[i][j]=\sum a[i][k] * b[k][j]$，要求第一个矩阵列数等于第二个矩阵行数。注意矩阵乘法具有结合律但不具有交换律

矩阵求逆：需要用到行列式，暂咕

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矩阵优化递推

最常见的斐波那契有递推式 $f_i=f _ {i-1}+f _ {i-2}$
如果只需要知道第 $n$ 项的值（$n$ 很大），可以这样做：

定义初始矩阵：

$$A=\begin{bmatrix} f _ {i-2}& f _ {i-1} \end{bmatrix}$$

要乘一个转移矩阵 $B$ 结果为答案矩阵

$$C=\begin{bmatrix} f _ {i-1}& f _ {i} \end{bmatrix}$$

那么 $B$ 可以构造为：

$$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$$

通过定义可以证明这样构造是对的

根据矩阵的结合律，最终要乘 $n$ 次转移矩阵，不妨先求转移矩阵的 $n$ 次方然后再乘初始矩阵
而 $n$ 次方可以快速幂优化

下面采用重载运算符处理矩乘运算

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
int n;
struct Mat{
	int a[2][2];
	Mat(){a[0][0]=a[1][0]=a[0][1]=a[1][1]=0;}
};
Mat operator * (Mat b,Mat c){
	Mat ans;
	for(int i=0;i<=1;i++){
		for(int j=0;j<=1;j++){
			for(int k=0;k<=1;k++){
				ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+b.a[i][k]*c.a[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return ans;
}
Mat po(Mat a,int b){
	Mat ans;
	ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>n;
	if(n==1||n==2){
		cout<<1;
		return 0;
	}
	Mat c;
	c.a[0][1]=c.a[1][0]=c.a[1][1]=1;
	Mat p=po(c,n-2);
	Mat b;
	b.a[0][0]=b.a[0][1]=1;
	b=b*p;
	cout<<b.a[0][1];
	return 0;
}

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矩阵优化图上问题

对于图上的 $dp$，有限制为与一个点有连边的点才能转移
而如果进行多次这样的操作，可以用矩阵把状态的转移记录下来，用快速幂优化

P2233 [HNOI2002]公交车路线

比如这道题，除了终点一个点可以向相邻点连边，那么表达在矩阵上即为 $(i,i+1)$ 以及 $(i，i-1）$ 的位置为 $1$
快速幂后即可知道方案数是多少了

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000;
const int m=8;
int n;
struct Mat{
	int d[10][10];
	Mat(){memset(d,0,sizeof d);}
};
Mat operator * (Mat a,Mat b){
	Mat ans;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=m;k++){
				ans.d[i][j]+=a.d[i][k]*b.d[k][j]%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++)ans.d[i][j]%=mod;
	return ans;
}
Mat po(Mat a,int b){
	Mat ans;
	for(int i=1;i<=m;i++)ans.d[i][i]=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n;
	Mat a;
	for(int i=1;i<=m-1;i++){
		if(i==4)continue;
		a.d[i+1][i]=1;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(i==6)continue;
		a.d[i-1][i]=1;
	}
	a.d[m][1]=a.d[1][m]=1;
	Mat ans=po(a,n);
	Mat k;k.d[1][1]=1;
	k=k*ans;
	cout<<k.d[1][5];
	return 0;
}