距离相关

欧式距离

$n$ 维空间欧式距离为：$\displaystyle\sqrt {\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2}$

这个貌似不能直接计算，一般结合高斯消元或者计算几何

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曼哈顿距离

$n$ 维空间曼哈顿距离为：$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|$

满足性质：$dis(i,j)\le dis(,k)+dis(k,j)$

计算距离需要分类讨论，会产生偏序问题
考虑如果求最大值，那么错误的拆绝对值一定不优，可以直接维护

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切比雪夫距离

$n$ 维空间切比雪夫距离为：$\displaystyle\max_{i=1}^{n}\{|x_i-y_i|\}$

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曼哈顿距离与切比雪夫距离的转化

曼哈顿转切比雪夫：

$(x,y)$ 变为 $(x+y,x-y)$

切比雪夫转曼哈顿：

$(x+y,x-y)$ 变为 $(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$

证明：

一种形象化的理解，对于陌生题目方便猜测结论：
把两种距离定义下距离为1的图形画出来，然后再对应比较猜测坐标变换

比较严谨的证明是分类讨论曼哈顿距离的绝对值内值的正负

$$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$

$$=max\{|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|\}$$

这就是切比雪夫距离的经典形式了

之所以要转化是因为求和和 $min$ $max$ 几乎是不相交的领域，和的 $max$ 和 $max$ 的和都不是那么好求，那么转化为同类型就很方便了