noip模拟19/20
这两场考试大部分的题都考过,然鹅有的 \(trick\) 忘了,有的当时咕了(虽然现在还咕着)
首先是 \(v\) 这道题需要加一个小优化,对于较小的状态应该直接用数组记录,较大的再用 map 记
然后就是这个神奇的 \(dp\) 题:
A. 玩具
考场上只会暴搜,胡了一个 hash 还给挂了
正解是神奇的 \(dp\)
首先核心是 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的树深度为 \(j\) 的概率,那么期望即概率乘深度之和
考虑这个怎么转移:
如果想办法从 \(f[i-1][k]\) 转移,可以发现这个状态是不完备的,因为不知道 \(i-1\) 个点深度为 \(k\) 时各个深度的点各有多少个,那么加在每个深度的概率是不相同的
那么考虑这棵树最后加入的点是树顶那个点
因为树顶那个点加入前整个的深度是固定的为 \(j-1\)
那么问题又来了,如果加入的是树顶,那么原来所有的子树将形成一个森林,显然还需要一个变量维护森林的状态
那么设 \(g[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的森林深度为 \(j\) 的概率,那么有
接着考虑 \(g\) 的转移,可以想到从一部点形成的树外加另外的点形成森林来转移
假设树的大小为 \(k\),那么一部分是 \(f[i][k]\),发现另一部分的深度是不确定的,只要小于等于 \(j\) 即可
说明状态设计的有问题,那么设计成深度小于等于 \(j\) 就好了
\(f\) 的转移还是一样的
然后再看 \(g\) 的转移,发现还是有 \(bug\),因为总共有 \(j\) 个点,有 \(k\) 个点在第一棵树里,这是有概率的,那么继续打补丁——设 \(dp[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的森林有 \(j\) 个点在第一棵树的概率
考虑转移,从 \(dp[i-1][]\) 转移而来,分为新加的点在不在第一棵树里两种情况,方程式为:
这里需要注意看似上一种情况共可以向 \(i-1\) 个点连边,为什么分母上是 \(i\) 呢?
因为漏掉了一种情况就是新加的这个点其实是可以自成一棵树的,所以没有问题
这回终于可以转移 \(g\) 了:
最后是统计答案,由于状态设计的是前缀和形式,那么答案需要减一下,即:
\(update\):注意表达式中的 \(f[i][j]\) 全部为深度小于等于 \(j\) 的树,\(g[i][j]\) 表示小于等于 \(j\) 的森林
并且通过实践验证 \(dp[i][j]=\frac{1}{i}\),可能这个确实是等概率事件吧