noip模拟19/20

这两场考试大部分的题都考过，然鹅有的 $trick$ 忘了，有的当时咕了（虽然现在还咕着）

首先是 $v$ 这道题需要加一个小优化，对于较小的状态应该直接用数组记录，较大的再用 map 记

然后就是这个神奇的 $dp$ 题：

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A. 玩具

考场上只会暴搜，胡了一个 hash 还给挂了
正解是神奇的 $dp$

首先核心是 $f[i][j]$ 表示 $i$ 个点的树深度为 $j$ 的概率，那么期望即概率乘深度之和
考虑这个怎么转移：
如果想办法从 $f[i-1][k]$ 转移，可以发现这个状态是不完备的，因为不知道 $i-1$ 个点深度为 $k$ 时各个深度的点各有多少个，那么加在每个深度的概率是不相同的
那么考虑这棵树最后加入的点是树顶那个点
因为树顶那个点加入前整个的深度是固定的为 $j-1$

那么问题又来了，如果加入的是树顶，那么原来所有的子树将形成一个森林，显然还需要一个变量维护森林的状态
那么设 $g[i][j]$ 表示 $i$ 个点的森林深度为 $j$ 的概率，那么有

$$f[i][j]=g[i-1][j-1]$$

接着考虑 $g$ 的转移，可以想到从一部点形成的树外加另外的点形成森林来转移
假设树的大小为 $k$，那么一部分是 $f[i][k]$，发现另一部分的深度是不确定的，只要小于等于 $j$ 即可

说明状态设计的有问题，那么设计成深度小于等于 $j$ 就好了
$f$ 的转移还是一样的
然后再看 $g$ 的转移，发现还是有 $bug$，因为总共有 $j$ 个点，有 $k$ 个点在第一棵树里，这是有概率的，那么继续打补丁——设 $dp[i][j]$ 表示 $i$ 个点的森林有 $j$ 个点在第一棵树的概率
考虑转移，从 $dp[i-1][]$ 转移而来，分为新加的点在不在第一棵树里两种情况，方程式为：

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1] * \frac{j-1}{i}+dp[i-1][j] * \frac{i-j}{i}$$

这里需要注意看似上一种情况共可以向 $i-1$ 个点连边，为什么分母上是 $i$ 呢？
因为漏掉了一种情况就是新加的这个点其实是可以自成一棵树的，所以没有问题

这回终于可以转移 $g$ 了：

$$g[i][j]=\sum_{k=1}^{i} f[i][k]*g[i][i-k]*dp[i][k]$$

最后是统计答案，由于状态设计的是前缀和形式，那么答案需要减一下，即：

$$\sum_{i=1}^{n} (f[n][i]-f[n][i-1])*i$$

$update$：注意表达式中的 $f[i][j]$ 全部为深度小于等于 $j$ 的树，$g[i][j]$ 表示小于等于 $j$ 的森林
并且通过实践验证 $dp[i][j]=\frac{1}{i}$，可能这个确实是等概率事件吧