matroid课堂笔记 in GDKOI
Matroid
一.what
性质：含空，继承，交换
一些matroid：
graphical matroid
bicircular matroid
transversal matroid
二.基本性质与等价定义
1.base 对于M=(E,I)，E的子集A独立，再加就不独立，A为E的base
2.rank base的数目
3.sub-matroid
4.rank function
5.binary marginal +submodular ->rank
6.base 有交换律 若x\in ~~~
7.用base定义matroid
basis exchange property 
8.realize over F-----regular F
一个拟阵M
9.regular matroid~~unimodal matroid
结论 1.basis用行列式计算
2.realizable over GF(2)and GF（3）
3.TUM totally unimodal matrix
三.矩阵和贪心算法联系
（？）设为空，加进最大的元素，找权值最大的子集
无论哪个元素的权值是多少，贪心的正确性证明（P12）
小节：M是matroid ~~~~贪心的正确（P13）
四.拟阵的构造方式
(dual&union)
dual matroid
定义1
要证明:M为matroid ~~~~B为basis exchange property （证明P15）
定义2
（更加灵活,使用独立集描述）
truncrated matroid
定义：
union matroid
定义：I bing J （E,I bing J）也为matroid
（E,I bing J）为（E,I）和(E,J)的union matroid
（一般情况I_1~I_K）
五.两个拟阵的交
intersection of matroids
（休息十分钟，炸裂的时间暂停了下，waiting~~）
例题1
找集合，在两个matroids里面是独立的，求元素个数最多的子集（3个~~是NPC的）
解法
~~
应用：1.最大匹配转换为拟阵的交
二分图最大匹配
matroid M1,M2
I1={A中没有边连向X }
例题2
给定无向图D 找它的两棵edge-disjointed 的生成树
解法
M=（E,I）表示G 的graphic matroid，M=（E,I）
它有两棵edge-disjointed 的生成树 ~~~~max {s\in I jiao I*}^{|s|=|v|-1}
ex:shannon switching game
Q：选无标记edge 一人标为已删除，一人标为已选择，…………（P23）
习题
无向图G每条边有三种颜色1,2,3，要求选k条，使得其中1,2两种颜色联通所有点，12两种颜色联通所有点
解答：关键：构造拟阵
删掉m-k条边，要求删掉的边在graphic matroid 的dual中独立P24
算法
类似求最大匹配P25
设为I空集，不断加元素（难点：扩大I：删掉k条，加上k+1条）
构造交换图G_I，如PPT定义
在其中找做短路
把所有x加进来，把所有y去掉（？）
举例
左：在I中元素 右：其他点P25.4
将右边点：可以作为起点：加进图一仍独立
座位终点：加进图二~~~
连边，P25.6-9 把一条边去掉，有哪些边可以加进来，就连边
六.matroid partitioning问题
习题
1~2^n-1\in Z 分组~~~
open problem
对于特殊分组，是否有显示构造？
七.matroid union theorem
（ground set？）
