CF1061C Multiplicity

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题目大意

\(有个长度为n的序列a，你需要统计a中有多少个棒棒的子序列\)
\(一个序列b被定义为棒棒的，当且仅当：\)
\(对于序列中每一个位置i，b_i都能够被i整除\)
\(答案对10^9+7 取模\)

数据范围

\(\circ\) \(n\le10^5\)
\(\circ\) \(1\le a_i\le10^6\)

题解

这题可能是最近几道题里最简单的一道了
不难想到暴力做法：
\(dp_{i,j}指枚举到i点，b序列长度为j的方案个数\)
\(则状态转移方程是：\)
\(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+(a_i\)%\(j==0)\times dp_{i-1,j-1}\)
这样暴力的复杂度是\(O(n^2)\)的，会超时
于是考虑一下优化
试着维护一下二维前缀和
然后可以新添的长度\(j要求是a_i\)的因数
于是可以试着枚举\(a_i\)的所有因数
DP一下这个a[i]对所有因数（就是可能长度）的贡献（好吧本人蒟蒻难以准确说明，具体见代码吧）
复杂度是根号级别的
所以总复杂度就会是\(O(n\sqrt n)\)的了
因为\(n是10^5\)的，于是可以3秒跑过了
具体实现看下面代码↓↓↓

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll  long long
using namespace std;
ll n,ans,mod=1e9+7;
ll a[1000010],f[1000010];//用于dp的f[i]表示目前为止长度为i的合法序列个数 
ll w[1000010];//存放a[i]的每一个因数 
int main(){
	cin>>n;
	for(ll i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
	f[0]=1;//为了使f能够合乎常理（？）地DP 
	for(ll i=1;i<=n;++i){
		ll qq=sqrt(a[i]),top=0;
		for(ll j=1;j<=qq;j++){
			if(a[i]%j==0){
				w[++top]=j;
				if(j*j!=a[i])//这句缺失会导致错误，如1,1,2->5就WA了 
					w[++top]=a[i]/j;
			}
		}
		sort(w+1,w+top+1);
		for(ll j=top;j>=1;--j){
			f[w[j]]=(f[w[j]]+f[w[j]-1])%mod;
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;++i)ans=(ans+f[i])%mod;
	cout<<ans;
} 

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THE END