省选11. 字符串

P3426 [POI2005]SZA-Template

考虑 dp，设 $f(i)$ 表示前 $i$ 字符所需要的最小印章。

$f(i)$ 要么等于 $i$，要么等于 $f(nxt(i))$。

如果存在 $j\geq n-nxt(i)$，使得 $f(j)=f(nxt(i))$，那么 $f(i)=f(nxt(i))$。

P2444 [POI2000]病毒

相当于是要在 AC 自动机上匹配，找到一条不经过 endpos 的环。

需要注意判环和上传 fail 指针的 endpos 的问题。

P2414 [NOI2011] 阿狸的打字机

AC 自动机上 endpos 集合维护这个节点有哪些串。

一次询问 $(x,y)$ 相当于在 AC 自动机走到 $y$，对于每个点判断它是否在 $x$ 的子树内（fail 树上）。

这可以转化为将 $1$ 到 $y$ 的路径加 $1$（trie 树上），询问 $x$ 的子树内有多少个点。

也就是说，对于每个 $y$ 相同的点，加的值都是一样的都是 $1$ 到 $y$ 的路径。

因此可以把询问离线下来，对每个相同的 $y$ 查询不同的 $x$。

这可以用树状数组维护一个点到根的链加，每次查询子树和即可。

注意到不同的 $x$ 或 $y$ 可能对应相同的节点，因此实际上是对同一节点的所有 $y$ 处理，需要记录一下每个字符串对应的节点编号。

P2463 [SDOI2008] Sandy 的卡片

相当于是求所有串的最长公共子串的最大值。

不同串直接用不同的标识符隔开，求出 SA。

如果左端点固定，很明显排名区间在包含所有不同子串的情况下越短越好。

因此，开个标记数组双指针一下就行了。

P3181 [HAOI2016]找相同字符

将一个长度为 $n$ 的串和长度为 $m$ 的串拼在一起，答案为

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=n+1}^{m}lcp(i,j)$$

可以计算每个 height 对答案为贡献，拆成差分的形式计算。

P3346 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡

读错题了。

读成与一个空地相邻的空地数目不超过 $20$。

本来的意思是叶子数目不超过 $20$。

那么，对每个叶子，遍历整颗子树，建出广义 SAM，求本质不同的字符串个数即可。

P4081 [USACO17DEC]Standing Out from the Herd P

直接套广义 SAM，再在 fail 树上处理一下就行了。

需要注意的是，SAM 的 fail 树上一个点的儿子的编号不一定大于它，因此不能一个循环解决，还是要建出 fail 树。

P6257 [ICPC2019 WF]First of Her Name

原问题相当于是给定一棵trie树，对于trie上从根到任意节点的一个串，如果它含有某个询问串的反串，那么它对该询问串贡献$1$。

可以对询问串建立 AC 自动机，对于每个串，会对 fai 树上到根的路径的所有询问串产生贡献，打一下标记最后 dfs fail 树就行了。

P7046 「MCOI-03」诗韵

先建出 SAM，两个串的最长后缀等于它们在 fail 树上的 LCA 对应的最长串的长度。

考虑计算子串对答案的贡献，它的贡献区间为一段后缀时间。

将修改的串放到 fail 树的对应节点上，某一个子串出现的时间等于子树内最小的大于 $k$ 的前缀时间。

于是 fail 树上线段树合并，查询的时候线段树二分即可。

P2178 [NOI2015] 品酒大会

求有多少对 $i\neq j$ 满足 $lcp(i,j)\geq r$，且求 $\max(a_i+a_j)$，对所有 $r\in[0,n-1]$。

考虑每个 height 的贡献，算出贡献区间，差分一下即可算出询问 1。

对于询问 2，只需要维护一个排名区间的 st 表，存最大值和最小值，对每个 height 查询一下就行了。

CF954I Yet Another String Matching Problem

注意到字符集很小，因此可以暴力枚举那些字符并在一起。

每次检验跑一次 KMP 匹配即可。

CF1073G Yet Another LCP Problem

建出后缀树，问题转化为求

$$\sum_i\sum_jdepth(lca(a_i,b_j))$$

可以转化为对所有 $a_i$，对它到根节点的路径加上对应的权值，对每个 $b_j$ 查询它到根的路径和，使用 LCT 维护。

CF547E Mike and Friends

先对原串建立 AC 自动机。

将询问差分，把每个串依次加入树状数组中。

对于差分后的询问，相当于是询问子树的权值和。

P4156 [WC2016]论战捆竹竿

每次增加的长度只可能是 $n-border$，因此可以考虑使用 KMP 预处理出所有 $border$，计算出所有可能的增加的长度 $h(i)$，然后就是求 $\sum h(i)k(i)$ 在 $[0,w-n]$ 的解的个数，是一个同余最短路。

有一个性质是一个字符串的 $border$ 长度可以分成 $\log n$ 个等差数列，因此可以考虑对每个等差数列单独松弛，再考虑合并。

假设有一个首项为 $a$，公差为 $d$，项数为 $len$，同余最短路的模数为 $a$，那么这些边连接后会形成 $\gcd(n,d)$ 个互不影响的环。

考虑对每个环分别松弛，对于某一个环，这个环中 $dis$ 最小的点一定不会被其它点松弛，于是可以破环为链，考虑一个链上的 $dp$。

$$dis(i)\longrightarrow dis(i+kd)(k=1,2\cdots len-1)$$

有范围的限制，相当于一个滑动窗口，可以用单调队列优化。

解决了单个等差数列的情况，下面考虑不同等差数列间的合并。

假设上一模数为 $a_{last}$，新的模数为 $a_{now}$，初始值有 $dis_{last}(i)\longrightarrow dis_{now}(dis_{last}(i)\bmod{a_{now}})$。

模 $a$ 意义下 $dis(i)$ 的含义是能走到 $i+ka$，因此松弛的增量为 $a_{last}$，相当于对一个首项为 $0$，公差为 $a_{last}$，项数为 $\infty$，模数为 $a_{now}$ 的等差数列松弛。

！CF932G Palindrome Partition

很明显，$n$ 为偶数才存在方案数。

考虑构造一个字符串 $S=s_1s_ns_2s_{n-1}\cdots$，这样，就把原问题转化为将 $S$ 划分成偶回文串的方案数。

考虑 $dp$，设 $f(i)$ 表示前 $i$ 个字符划分成偶回文的方案数。

转移时需要枚举最后一个串的长度，这相当于是沿回文树上的 $fail$ 往上跳。

如果直接转移复杂度为 $O(n^2)$，考虑优化。

由于结尾的位置是回文串，它的最长回文后缀一定是它的一个 $border$，因此也一定满足 $border$ 能被划分成 $\log n$ 个等差数列的性质。

于是可以考虑一段等差数列一段等差数列地转移。

由 $border$ 的性质，对于一段等差数列，只需要考虑等差数列最小的哪项即可（思考），因为其它的贡献会在 $i-d$ 的位置计算。

！P5287 [HNOI2019]JOJO

没看懂题解，以后再补。

$\mathbb{LATEX}$

P4482 [BJWC2018]Border 的四种求法

把问题形式化。

选择一个最大的 $i$，满足 $l\leq i<r$，且 $i-l+1\leq lcs(r,i)$，即 $i-lcs(r,i)<l$。

很明显要建出 $SAM$ 的 $fail$ 树。

一种比较暴力的方法是，对每个询问，从 $[1,r]$ 对应的节点往上跳，相当于枚举 $lcs(r,i)=len$，查询子树中最大的 $i$ 满足 $i\in [l,\min(r,l+len))$，线段树合并解决。

另一种比较暴力的方法是，对每个询问，找到从根当它的路径，将路径上的点和两边的子树内的点加入线段树中，$i$ 号叶子存 $val(i)=i-len$，当走到询问的点时，查询最大的 $i$，满足 $i<r$，且 $val(i)<l$，线段树上二分解决。

综上，使用链分治，然后把询问拆成 $\log n$ 个，末端的点用第一种方法，重链上较长的连续的点用第二种方法。

P6292 区间本质不同子串个数

求区间颜色数，经典方法为离线后按右端点排序，删除之前的颜色，加入新的颜色。

对于这道题，可以先建出 $SAM$，考虑统计每个右端点的答案。

对于 $[1,r]$ 对应的 $fail$ 树节点，一直往根跳，用线段树维护左端点的答案，并记录当前的右端点（颜色）。

如果暴力跳 $fail$ 指针时间复杂度不对。

可以 $LCT$ 维护相同的颜色，又因为每次颜色相同的一定是一条链，所以可以在 $splay$ 后直接修改。

P4022 [CTSC2012]熟悉的文章

二分答案为 $mid$，设 $dp(i)$ 表示前 $i$ 个字符所能得到的最大贡献。

$$dp(i)=\max_{j=i-maxlen(i)}^{i-mid}dp(j)+i-j$$

预处理出 $maxlen(i)$，$i-maxlen(i)$ 只增不降，使用单调队列维护即可。