矩阵快速幂

前期铺垫

在讲矩阵快速幂之前，我们先来看一下整数快速幂。求 X 的 N 次方。
举个例子，在求 \(x^{19}\) 时，我们可以拆分成 \(x^{16}\)、\(x^2\) 和 \(x\) 的乘积。我们观察19的二进制数（10011），发现二进制第 \(i\) 位上的值为 1 ，在乘积中就要有 \(x\) 的 \(2^i\) 的一项。据此我们可以利用遍历二进制数的每一位快速求出 \(X^N\)。
代码如下：

ll QuickPow(ll x,ll n)
{
    ll tmp = (ll)x;
    ll res = 1;
    for(ll i=0;(1<<i)<=n;i++)
    {
        if(n&(1<<i))
        {
            res=(res*tmp)%mod;
        }
        tmp=(tmp*tmp)%mod;
    }
    return res;
}

也可以写成下面这样：

ll QuickPow(ll x,ll n)
{
    ll tmp = x;
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*tmp)%mod;
        tmp = (tmp*tmp)%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

矩阵快速幂的实现过程

现在问题变成求解矩阵 A 的 N 次方，我们可以类比整数快速幂，写一个矩阵的结构体，用一个matmul函数来定义矩阵的乘法，具体实现过程与整数快速幂类似。

struct mat
{
    ll m[maxn][maxn];
}unit;
void init()
{
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        unit.m[i][i]=1;
}
mat matmul(mat a,mat b)
{
    mat ans;
    ll tmp =0;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=1;j<maxn;j++)
        {
            tmp=0;
            for(int k=1;k<maxn;k++)
            {
                tmp=(tmp+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
            }
            ans.m[i][j]=tmp;
        }
    }
    return ans;
}
mat QuickPow(mat a,ll n)
{
    mat tmp = a;
    mat res=unit;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=matmul(res,tmp);
        tmp = matmul(tmp,tmp);
        n>>=1;
    }
    return res;
}

应用

第一步先要列出递推式:
例如 \(f\left( n \right) =f\left( n-1 \right) +f\left( n-2 \right)\)
第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

\[\left( \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right) *\left( \begin{array}{c} f_{n-1}\\ f_{n-2}\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} f_n\\ f_{n-1}\\ \end{array} \right) \]

简写成\(T*A\left( n-1 \right) =A\left( n \right)\)，T矩阵就是转移矩阵，而且一定是一个常数矩阵，

\[A_n=\left( \begin{array}{c} f_n\\ f_{n-1}\\ \end{array} \right) \]

由此得到\(A\left( n \right) =A\left( 1 \right) *T^{\left( n-1 \right)}\)
\(T^{n-1}\)可以利用矩阵快速幂计算出来，而\(A\left( 1 \right)\)可以手动计算，就可以得到\(A\left( n \right)\)
给一些简单的递推式

1. \(f\left( n \right) =af\left( n-1 \right) +bf\left( n-2 \right) +c;（a,b,c是常数）\)
2. \(f\left( n \right) =c^n-f\left( n-1 \right);（c是常数）\)

\[\left(\begin{matrix} -1& c\\ 0& c\\ \end{matrix} \right) *\left(\begin{array}{c} f_{n-1}\\ c^{n-1}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} f_n\\ c^n\\ \end{array} \right) \]