算法导论习题--第六章[堆排序]

6.1-1 堆中高度的定义为root到叶子节点最长简单下降路径上边的数目 2^h<= n <= 2^(h+1) -1
6.1-2      2^h<= n <= 2^(h+1) -1
==>    lg(n)  <=h <= lg(n+1)-1
==>    lg(n)取下整
6.1-3     反证
6.1-4     叶子节点
6.1-5     是
6.1-6     否
6.1-7     未知

6.2.1     略
6.2.2     略
6.2.3     直接返回，不做修改
6.2.4     不做修改
6.2.5

      void max_heapify(A,i) {
           while (true) {
                int l = i*2;
                int r = i*2 + 1;
                largest = max(A[i],max(A[l], A[r]))的下标;
                if (largest == i)
                     break;
                swap(A[i],A[largest]);
                i = largest;
           }
      }

 

6.2.6     最坏情况就是从root到叶子节点每一层都要进行一次调整，那么最坏的复杂度就是从root到叶子节点的高度lgn
6.3.2     无法保证root为最大，比如{5，4，3，12}

6.5.6     FIFO队列：增加一个全局counter，每次增加一个元素counter+1，并且堆是按照counter大小作为关键字。栈可以做相应-1操作。
6.5.7     heap_delete实现
思路：分三种情况考虑
1）要删除的A[i]比最后一个元素大则交换后向下调整O(lgn)
2）要删除的A[i]比最后一个元素小则向上调整O(lgn)
3）相等不处理O(1)

      void heap_delete(A,i){
           swap(A[heap_size], A[i]);
           if (A[heap_size] == A[i]) {
                // do nothing
           }
           else if (A[heap_size] > A[i]) {
                max_heapify(A,i);
           }
           else {
                increate_key(A, i, A[i]);
           }
           head_size —;
       }

 

6.5.8
思路： 有k个有序数组，取每个数组的第一个元素建立一个节点数为k的堆，这样每次操作堆的复杂度为lnk，一共n个元素这样把所有n个元素都放在堆里进行一次调整总体复杂度为O(nlnk),伪码：

      merge_list(vector<vector<struct node*> > list) {
           vector<int> result;
           //建堆
           for (int i=0; i<list.size(); ++i) {
                min_heap[i] = list[i][0];
           }
           build_min_heap(min_heap);
           //n次循环直到堆中无元素
           while(n—) {
                result.push_back(min_heap[0]);
                min_heap_delete(min_heap, 0);
                //取出堆顶元素对应链表的next元素并加入堆中
                //如果对应链表中已无元素，则调整堆的大小
                if next_data != NULL
                     min_heap_insert(min_heap, next_data);
           }
           return result;
      }

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