【复习笔记】数据结构-图

两种表示方式

• 邻接矩阵

• 邻接表

  • 无向图 $|V|+2|E|$存储空间
  • 有向图 出边表入边表之一 $|V|+|E|$
  • 十字链表
    • data域
    • firstinarc指针指向第一条以该顶点为终点的边
    • firstoutarc指针指向第一条以该顶点为起点的边

 

周游图

• Dfs 邻接表代价有向图$O(|V|+|E|)$ 无向图$O(|V|+2|E|)$ 相邻矩阵$O(|V|^2)$
• BFS 复杂度与dfs相同

 

拓扑排序

• 不唯一
• 基本思想，判断环路（bfs和dfs，dfs不能判断环）
  • 复杂度：相邻矩阵$O(|V|^3)$，邻接表：$O(2|V|+|E|)$

 

最短路径问题

• 单源最短路径：给定源点s到图中其他各顶点的最短路径（Dijkstra算法-贪心）
• 每对顶点间的最短路径（Floyd-动规）

 

Dijkstra算法

• 要求：边权非负
• 思路：顶点分为两组，一旦确定了某点的最短路径就放入第一组，其余归为第二组；每次取能够到的最短的那条路径。
• 具体实现：每次加入第一个组时更新第二组的距离值，选取距离值最小的顶点加入第一组
• 设置length数组和pre数组
• 复杂度：没有最小堆：$O(V^2+E)$，最小堆不删除旧值：$O((|V|+|E|)log^|E|)$

 

Floyd

• 要求：允许边权值为负
• 每次算出从某点到某点中间顶点序号不大于K的最短路径长度，n次以后包括了所有最终的最短路径。
• 设置path数组（初始-1）和adj数组
• 复杂度：$O(n^3)$

 

最小生成树

• 包括G的所有顶点，边权值总和最小
• Prim算法和Kruskal算法

 

Prim

• 思路：贪心
• 从任意一点开始，把这个点包括在MST里，对一个点在MST中而另一个不在的边取出最小的放进MST
• 复杂度同Dijkstra

 

Kruskal

• 将所有边分成很多等价类，连通后就成为同一个等价类，按权值大小顺序处理每一条边，该边连接不同等价类就加到MST
• 复杂度$O(|E|log^|E|)$（堆排序时间）