Vijos p1130 数的计数

描述
我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数nn)。

先输入一个自然数 n (n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：
1· 不作任何处理；
2. 在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。

格式
输入格式
自然数n

输出格式
满足条件的数的个数

样例1
样例输入1
6

样例输出1
6

样例说明
满足条件的数为 6 (此部分不必输出)，他们分别是：
（1）6
（2）16
（3）26
（4）126
（5）36
（6）136

限制
每个测试点1s

来源
noip2001普及组第一题

 

 

思路：

找到递推公式a[n]=1+a[n/2]+a[n/2-1]+a[n/2-2]..+a[1]即可

#include <stdio.h>

int main() {
    int n,i,j,t;
    int a[1010];
    a[0]=0;a[1]=1;a[2]=2;
    scanf ("%d",&n);
    for (i=3;i<=n;i++) {
        a[i]=1;
        t=i/2;
        for (j=1;j<=t;j++) {
            a[i]+=a[j];
        }
    }
    printf ("%d\n",a[n]);
    return 0;
}

 

当然，通过更进一步对递推公式分析，可以找到规律

a[n]=a[n-1] (n%2 !=0)

a[n]=a[n-1]+a[n/2] (n%2==0) 

从而获得O(n)的解法

#include <stdio.h>

int main() {
    int n,i;
    int a[1010];
    a[0]=0;a[1]=1;
    scanf ("%d",&n);
    for (i=2;i<=n;i++) {
        a[i]=a[i-1];
        if (!(i&1)) {
            a[i]+=a[i/2];
        }
    }
    printf ("%d\n",a[n]);
    return 0;
}