网络流24题总结(基本建模)

简介

网络流算法在于把抽象的题目转换为图上水流问题，通常在省选及以上难度范围出现，最初由似贪心问题引出

通常在数据较小，看似可贪心但实则需要不断后悔调整的题目中可应用到

飞行员配对方案问题

发现飞行员类型仅两种，且每个飞行员至多参加一个队伍，显然这是个二分图

按类型染色，按匹配连边，跑匈牙利就能过

负载平衡问题

求出平均数\(sum\)，\(a_i>sum\)的这部分显然变化的只有\(sum-a_i\)，而\(a_i<sum\)同理

而这两部分的缺口或者增量是互补的

考虑分类分别与源点汇点相连流量为\(|sum-a_i|\)，相邻点连边，流量\(inf\)费用\(1\)

汽车加油行驶问题

\(K\)较小，考虑拆点表示状态，\(pos_{i,j,k}\)为位于坐标\((i,j)\)是油量还剩\(k\)

考虑转移：

• 有加油站的位置必须加油，：\(pos_{i,j,k}(k\in [0,K-1])\)向\(pos_{i,j,K}\)连容量为\(1\)费用为\(A\)的边
  没油是必须加油：\(pos_{i,j,0}\)向\(pos_{i,j,K}\)连容量为\(1\)费用为\(A_C\)的边

• 有加油站的位置仅有\(pos_{i,j,K}\)能向其他位置移动(保证必须加油)
  其他位置\(pos_{i,j,k}\)向\(pos_{i',j',k-1}\)连容量为\(1\)的边，费用判断相对位置考虑费用为\(0\)或为\(B\)

圆桌问题

两种类型，且收支平衡，源点向单位连容量为人数的边，圆桌向汇点连容量为座位数的边

每个单位向每个圆桌连容量为\(1\)的边(每个单位至多一人坐在一个圆桌)

太空飞行计划问题

最大权闭合子图(总结写好了再放上来)

\(ans=正权和-最小割\)，正权属于仪器，最小割相当于把容量流完了，则还有源点还能到的仪器为选择的仪器

深海机器人问题

一条边的意义：第一次经过贪心地选价值，之后都不增加贡献了
则两点之间连两条边：容量为\(1\)费用为\(val_{i,j}\)；流容量为\(inf\)费用为\(0\)

机器人始点源点向其连容量为人数费用为\(0\)的边；机器人终点其向汇点连容量为人数费用为\(0\)的边

餐巾计划问题

拆点：\(x(\)早上\()\)，\(x'(\)晚上\()\)
收支配合通过脏纸巾表示出来，为保证每天用量：\(i \xrightarrow{r_i, 0} T\)
晚上收到脏纸巾：\(S \xrightarrow{r_i, 0} i'\)

购买新纸巾：\(S \xrightarrow{\infty, p} i'\)

洗纸巾：\(i \xrightarrow{\infty, f} i+m',i \xrightarrow{\infty, s} i+n'\)

新旧纸巾的延续：\(i \xrightarrow{\infty, 0} i+1',i' \xrightarrow{\infty, f} i+1'\)

数字梯形问题

规则一：

• 点不相交：拆点\(x_{i,j}\xrightarrow{1, val_{i,j}}y_{i,j}\)

• 边不相交：\(y_{i,j}\xrightarrow{1, 0}x_{i+1,j},y_{i,j}\xrightarrow{1, 0}x_{i+1,j+1}\)

源点向第一行\(m\)个位置连容量为\(1\)费用为\(0\)的边，汇点同理
规则二：

• 点可以相交：拆点\(x_{i,j}\xrightarrow{\infty, val_{i,j}}y_{i,j}\)

最后一行与汇点的边容量为\(\infty\)
规则三：

• 边可以相交：\(y_{i,j}\xrightarrow{\infty, 0}x_{i+1,j},y_{i,j}\xrightarrow{\infty, 0}x_{i+1,j+1}\)

[CTSC1999]家园

发现每辆车下一站的位置和时间相关，所以按时间分层
\((t,i)\)表示时刻\(t\)在\(i\)点，枚举车i，则\((t,v_{i,t~mod~c_i})\xrightarrow{h_i} (t+1,v_{i,t+1~mod~c_i})\)