CF715E Complete the Permutations(第一类斯特林数)

题目

CF715E Complete the Permutations

做法

先考虑无\(0\)排列的最小花费，其实就是沿着置换交换，花费：\(n-\)环个数，所以我们主要是要求出规定环的个数

考虑连边\(a_i\rightarrow b_i\)(仅非零数有出边)，本身形成环的不管(也没办法管)，考虑一条除首尾外都不为\(0\)，首尾至少有一个\(0\)的链(链)，那么还有三类：

\(0\rightarrow0(0(a)\)对应的\(b\)是\(0\)或\(b\)的最终点是\(0)\)

\(0\rightarrow x(0(a)\)对应的\(b\)的终点\(x\)无出边\()\)

\(x\rightarrow 0(x(a)\)对应的\(b\)为\(0\)或\(b\)的最终点是\(0)\)

记这三类为个数\(a\)，\(b\)，\(a\)；且\(b\)和\(c\)所构成的环得通过\(a\)间接接通

\(f_i\)为第二类自己和自己匹配所形成的环个数为\(i\)个的方案数：

\[f_i=\sum\limits_{j=i}^b\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}C_b^j(a+b-j)^{\underline {b-i}} \]

理解：从\(b\)条二类链选出\(j\)条，组成\(i\)个环，剩余的二类链随机匹配，\(x\rightarrow 0\)自己与自己连也是\(x\rightarrow 0\)，与一类就形成\(0\rightarrow0\)，其实最后剩余的二类链就会形成全部变成一类链，而一类链的数量并不会增多

\(g_i\)为三类的方案数，构造方法更上方相同，理解也一样

最后我们仅剩三类了，此时数量还是\(c\)，而其中一些三类得贡献出去给一二类成环，而消耗完了的这些就自己给自己成环就行，一类边最后还要排列一下：

\[h_i=\begin{bmatrix}a\\i\end{bmatrix}a! \]

我们得到的就是一个三式卷积形式，暴力做

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL maxn=309,mod=998244353;
inline LL Read(){
	LL x(0),f(1); char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9'){
		if(c=='-') f=-1; c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar();
	}
	return x*f;
}
LL n,a,b,c,d;
LL visit1[maxn],visit[maxn],nxt[maxn],a1[maxn],b1[maxn],ans[maxn],ru[maxn],fac[maxn];
LL f[maxn],g[maxn],h[maxn];
LL strl1[maxn][maxn],C[maxn][maxn],D[maxn][maxn];
void Dfs(LL x){
	if(!x) return;
	visit1[x]=true;
	visit[x]=true;
	if(nxt[x]!=x){
		if(visit1[nxt[x]]) ++d;
		else{
			Dfs(nxt[x]); nxt[x]=nxt[nxt[x]];
		}
	}
	visit1[x]=0;
}
int main(){
	n=Read();
	for(LL i=1;i<=n;++i) a1[i]=Read();
	for(LL i=1;i<=n;++i) b1[i]=Read();
	for(LL i=1;i<=n;++i) nxt[i]=i;
	for(LL i=1;i<=n;++i){
		if(a1[i]){
			if(a1[i]==b1[i]){
				++d; visit[a1[i]]=true;
			}
			else{
				nxt[a1[i]]=b1[i];
			}
		}
		if(b1[i]) ++ru[b1[i]];
	}
	for(LL i=1;i<=n;++i) if(!visit[i]) Dfs(i);
	for(LL i=1;i<=n;++i)
	    if(!a1[i]){
	    	if(nxt[b1[i]]) ++b;
	    	else ++a;
		}else
		    if(!ru[a1[i]] && !nxt[b1[i]]) ++c;
	
	strl1[0][0]=strl1[1][1]=1;
	for(LL i=2;i<=n;++i)
	    for(LL j=1;j<=i;++j)
	        strl1[i][j]=(strl1[i-1][j-1]+1ll*(i-1)*strl1[i-1][j])%mod;
	C[0][0]=1;
	for(LL i=1;i<=n;++i){
	    for(LL j=1;j<=i;++j)
	        C[i][j]=1ll*(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	    C[i][0]=1;
	}
	D[0][0]=1;
	for(LL i=1;i<=n;++i){
		D[i][0]=1;
		for(LL j=1;j<=i;++j)
			D[i][j]=1ll*D[i][j-1]*(i-j+1)%mod;
	}
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(LL i=2;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	for(LL i=0;i<=b;++i)
	    for(LL j=i;j<=b;++j)
	        f[i]=(f[i]+1ll*strl1[j][i]*C[b][j]%mod*(a+b-j-1>=0?D[a+b-j-1][b-j]:1)%mod)%mod;
	for(LL i=0;i<=c;++i){
	    for(LL j=i;j<=c;++j)
	        g[i]=(g[i]+1ll*strl1[j][i]*C[c][j]%mod*(a+c-j-1>=0?D[a+c-j-1][c-j]:1)%mod)%mod;
	}
	for(LL i=0;i<=a;++i)
	    h[i]=1ll*strl1[a][i]*fac[a]%mod;
	for(LL i=0;i<=n;++i)
		for(LL j=0;j<=i;++j)
		    for(LL k=0;k<=i-j;++k)
		        ans[i]=(ans[i]+1ll*h[j]*f[k]%mod*g[i-j-k]%mod)%mod;
	for(LL i=0;i<n;++i){
		if(n-i-d<0) printf("0 ");
		else printf("%d ",ans[n-i-d]);
	}
	return 0;
}