序列自动机总结与例题

构造

\(a\)是字符集，\(|s|=n\)，\(nxt[i][j]\)表示\(i\)以后的第一个字符\(j\)的位置，\(0\)为根节点，整个图是一个\(DAG\)

for(LL i=n;i>=1;--i){
    for(LL j=1;j<=a;++j) nxt[i-1][j]=nxt[i][j];
    nxt[i-1][s[i]]=i;
}

扩展构建

当字符集较大时，可套用可持久化，在叶子节点放一个\(id\)，表示出边

相关例题：
字符串\(K\)小子序列，可持久化序列自动机，维护节点大小

一步一步(从首到尾)走，有序确定code

经典例题

判断是否是原字符串的子序列

构造出了\(nxt\)后，从根跑一遍就好了

求子序列个数

从根跑，记忆化搜索，\(f[x]\)为点\(x\)为首的子序列个数，\(f[y]=(\sum\limits_{x\in y'son}f[x])+1\)

求两串的公共子序列个数

两串都构造一下，之间跑就好了

LL Dfs(LL x,LL y){
    if(f[x][y]) return f[x][y];
    for(LL i=1;i<=a;++i)
        if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i])
            f[x][y]+=Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]);
    return ++f[x][y];
}

求字符串的回文子序列个数

原串与反串都建一遍

\[\begin{aligned}\longrightarrow 1~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9~~10&\\ 10~~9~~8~~7~~6~~5~~4~~3~~2~~1&\longleftarrow\\ \end{aligned}\]

就相当于从左右端点这样跑

求的时候显然\(x+y≤n+1\)这个序列才是合法的

\(x+y=n+1\)时就是会合了一样，在之后的遍历过程会\(++f[x][y]\)，所以暂时不统计

但是其他情况我们都是匹配的两个字符，也就是只会统计\(abba\)，而统计不了\(aba\)，所以在过程中\(++f[x][y]\)

LL Dfs(LL x,LL y){
	if(f[x][y]) return f[x][y];
	for(LL i=1;i<=a;++i)
		if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i]){
			if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]>n+1) continue;
			if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]<n+1) f[x][y]++;
			f[x][y]=(f[x][y]+Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]))%mod;
		}
	return ++f[x][y];
}

求一个\(A,B\)的最长公共子序列\(S\)，使得\(C\)是\(S\)的子序列

还是同样的\(Dfs(x,y,z)\)，表示一匹配到\(C\)的\(z\)位

改变一下\(C\)的构建方法

for(LL i=1;i<=a;++i) nxt[n][i]=n;
for(LL i=0;i<n;++i){
	for(LL j=1;j<=a;++j) nxt[i][j]=i;
	nxt[i][c[i+1]]=i+1;
}