LCT小结

前言

去年其实已经学过\(LCT\)了 ，但因为准备\(noip\)就没做什么题，忘得差不多啦，来补份总结

其实\(LCT\)是可以用\(FHQ\_treap\)实现的，但似乎更慢？？某\(dalao\)测试过的

反正\(LCT\)码量小(稍微压点就\(60\)行以下了)，而且网上大部分\(LCT\)都是用\(splay\)操作的，暂时不建议大家用\(FHQ\_treap\)

注：本文过于简短，只适合做总结观看

性质

\(LCT\)，全称\(Link Cut Tree\)，是一种维护动态树的利器

\(1.\)每个原树节点存在且仅存在于一棵\(splay\)

\(2.\)整个\(LCT\)，是由多棵\(splay\)构成的森林，其中每棵\(splay\)维护的是一条从上至下在原树中深度递增的路径，中序遍历后的点序列的在原树中的深度递增

\(3.LCT\)里的点靠实边和虚边连接，实边在\(splay\)中

虚边是由一棵\(splay\)指向另一棵\(splay\)的某个节点：该\(splay\)中的根指向原树深度最小的点的父亲(根与深度最小的点不等价)

当原树某点有多个儿子时，其中一个儿子存在于同棵\(splay\)且拉实边，其他儿子存在于其他的\(splay\)向该点拉虚边

\(Update(x)\)更新\(x\)某个要维护的值

inline void Update(LL x){
	sum[x]=val[x]^sum[son[x][0]]^sum[son[x][1]];
}

\(Notroot(x)(\)不该棵\(splay\)为根\()Splay(x)(\)上旋到该棵\(splay\)的根\(),Rotate(x)\)

这三个函数不建议大家改动，老老实实打就好了，容易出错 且与标准\(splay\)有部分差别

inline bool Notroot(LL x){
	return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
}
inline void Rotate(LL x){
	LL y=fa[x],z=fa[y],lz=(son[y][1]==x);;
	if(Notroot(y)){
		son[z][son[z][1]==y]=x;//**
	}
	son[y][lz]=son[x][lz^1],fa[son[y][lz]]=y;
	son[x][lz^1]=y,fa[y]=x;
	fa[x]=z;
	Update(y),Update(x);
}
inline void Splay(LL x){
	LL y(x),top(0);
	sta[++top]=y;//**
	while(Notroot(y)) sta[++top]=y=fa[y];//**
	while(top) Pushdown(sta[top--]);//**
	while(Notroot(x)){
		y=fa[x];
		if(Notroot(y)){
			LL z(fa[y]);
			if(((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y))==0) Rotate(y);
			else Rotate(x);
		}
		Rotate(x);
	}
}

\(Access(x)\)拉链1(维护\(x\)到原树根)

每次把节点\(x\)上旋到根，因为我们是要维护这一条链，当然比\(x\)深度更大的点(右子树)丢到另外的\(splay\)里去

细节：并不等效于拉一条以实根为根的链，故查询链时需注意直接\(Split(x,y)\)再查询\(y\)

inline void Access(LL x){
	for(LL y=0;x;y=x,x=fa[x]){
		Splay(x),son[x][1]=y,Update(x);
	}
}

比如我们\(Access(N)\)，看一下是怎么具体移动的

\(Makeroot(x)\)(换根)

通常我们维护的\((x,y)\)是位于原根的两个不同的子树，可是\(Access(x)\)只能维护\(x\)到原根这条链

一棵树随便提一点上来都还是树，那我们维护引入换根操作通过重构\(LCT\)，使得满足原有性质上换原根

比如我们维护\((x,y)\)这条链，就\(Makeroot(x),Access(y)\)

来看看\(Makeroot(x)\)的具体代码：当我们把\(x\)上旋到根时是没有右子树的(\(x\)深度最大)，而我们既然要换根得让\(x\)变成深度最小的，就交换左右子树

inline void Pushr(LL x){
	swap(son[x][0],son[x][1]);r[x]^=1;
}
inline void Makeroot(LL x){
	Access(x),Splay(x),Pushr(x);
}

\(Pushdown(x)\)下传标记

inline void Pushdown(LL x){
	if(r[x]){
		if(son[x][0]){Pushr(son[x][0]);}
		if(son[x][1]){Pushr(son[x][1]);}
		r[x]=0;
	}
}

\(Findroot(x)\)找根

inline LL Findroot(LL x){
	Access(x),Splay(x);
	while(son[x][0]){
		Pushdown(x),x=son[x][0];
	}Splay(x);
	return x;
}

\(Split(x,y)\)拉链2(维护\(x\)到\(y\))

inline void Split(LL x,LL y){
	Makeroot(x),Access(y),Splay(y);
}

\(Link(x,y)\)动态连边

inline void Link(LL x,LL y){
	Makeroot(x);
	if(Findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}

\(Cut(x,y)\)动态删边

inline void Delet(LL x,LL y){
	Split(x,y);
	if(son[y][0]!=x||son[x][1]) return;//注意这个地方
	fa[x]=son[y][0]=0;
	Update(y);
}

模板题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
typedef int LL;
const LL maxn=1e6;
inline LL Read(){
	LL x(0),f(1);char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
LL n,m;
LL fa[maxn],son[maxn][2],val[maxn],sum[maxn],r[maxn];

inline bool Notroot(LL x){
	return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
}
inline void Pushr(LL x){
	swap(son[x][0],son[x][1]);r[x]^=1;
}
inline void Pushdown(LL x){
	if(r[x]){
		if(son[x][0]){Pushr(son[x][0]);}
		if(son[x][1]){Pushr(son[x][1]);}
		r[x]=0;
	}
}
inline void Update(LL x){
	sum[x]=val[x]^sum[son[x][0]]^sum[son[x][1]];
}
inline void Rotate(LL x){
	LL y=fa[x],z=fa[y],lz=(son[y][1]==x);;
	if(Notroot(y)){
		son[z][son[z][1]==y]=x;//**
	}
	son[y][lz]=son[x][lz^1],fa[son[y][lz]]=y;
	son[x][lz^1]=y,fa[y]=x;
	fa[x]=z;
	Update(y),Update(x);
}
LL sta[maxn];
inline void Splay(LL x){
	LL y(x),top(0);
	sta[++top]=y;//**
	while(Notroot(y)) sta[++top]=y=fa[y];//**
	while(top) Pushdown(sta[top--]);//**
	while(Notroot(x)){
		y=fa[x];
		if(Notroot(y)){
			LL z(fa[y]);
			if(((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y))==0) Rotate(y);
			else Rotate(x);
		}
		Rotate(x);
	}
}
inline void Access(LL x){
	for(LL y=0;x;y=x,x=fa[x]){
		Splay(x),son[x][1]=y,Update(x);
	}
}
inline void Makeroot(LL x){
	Access(x),Splay(x),Pushr(x);
}
inline LL Findroot(LL x){
	Access(x),Splay(x);
	while(son[x][0]){
		Pushdown(x),x=son[x][0];
	}Splay(x);
	return x;
}

inline void Split(LL x,LL y){
	Makeroot(x),Access(y),Splay(y);
}
inline void Link(LL x,LL y){
	Makeroot(x);
	if(Findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}
inline void Delet(LL x,LL y){
	Split(x,y);
	if(son[y][0]!=x||son[x][1]) return;
	fa[x]=son[y][0]=0;
	Update(y);
}
int main(){
	n=Read(),m=Read();
	for(LL i=1;i<=n;++i) val[i]=Read();
	while(m--){
		LL op(Read()),x(Read()),y(Read());
		if(op==0){Split(x,y),printf("%d\n",sum[y]);}
		else if(op==1){Link(x,y);}
		else if(op==2){Delet(x,y);}
		else{Splay(x),val[x]=y;Update(x);}
	}
	return 0;
}