后缀自动机的一点理解

每个点代表的都是字符串里的一个子串

可以理解为对于字符串每个字串建的\(trie\)图

\(fail/link\)指向\(parent\)这个状态的最长后缀状态

\(\therefore parent.longest+1=now.shorest\)

\(endpos\)：一个子串出现在原串的位置(末端点)集合

\(endpos\)集合相同的点在一个点表示串

建\(parents\)树，沿着树往下就是\(endpos\)

经常我们会按\(parents\)树递归建线段树维护\(endpos\)来处理一些问题

状态

endpos相同的子串为一个点，互为后缀，长度连续且不同

建自动机

就说说最难理解的部分吧，分点转移

\(np\)是新节点，\(p\)是\(lst\)某个有\(c\)的最长后缀，则\(q=trans(p,c)\)

\(q.len!=p.len+1\)，也就是\(q.len>p.len+1\)
那这样\(np.fail=q\)的话，\(q.longest\)莫名其妙会成为\(np\)的后缀，但\(longest\)根本就不是从\(p\)转移过来的

所以我们单独拉出一个点\(nq\)维护\(p.longest+1\)就好了

经典匹配

在双字符串匹配中，对\(S\)建\(SAM\)，\(T\)在上面跑的时候，从\(i(now)\)到\(i+1\)，\(T\)已匹配长度为\(cnt\)

\(now\)是否有\(T[i+1]\)这个儿子

有：\(++cnt\)

没有：跑\(fail\)，\(cnt=len[now]\)（捡长的后缀留下来），如果还没有继续跳；否则跳过去，\(++cnt\)

时间复杂度：从\(now\)跳\(fail\)，但这次跑的花费会不会非常大，实际复杂度是有保证的，\(dep[now.fail]<dep[now]\)，则相当于最多跳的次数为\(|T|\)

特殊匹配

多次查询\((l,r)\in S\)和\(T\)匹配的时候怎么办呢？

题目

题目1：给出字符串\(S\)，求其中每个子串出现的次数*长度的最大值
分析：区分AC自动机，AC自动机将要把每个字串提出来建\(trie\)，光是提出来这个操作就已经T飞了
做法：建后缀自动机，我们知道\(parent\)树是个\(DAG\)图就可以进行\(topsort\)操作，我们按长度升序后倒序处理往\(parent\)上传

题目2：给出一个字符串\(S\)，找出一系列子串\(a_1\)~\(a_k\)，\(a_i\)在\(a_{i+1}\)出现了至少两次
做法：首先分析后缀自动机中同一点代表的这些子串是不会相互出现两次(\(endpos\)集合相同)
字符串\(A\)出现在字符串\(B\)至少两次，所以\(A\)出现在parent树中\(B\)的祖先\(，设\)B\(的右端点位置在\)pos[B]\( 那\)[pos[B]-len[B]+len[A],pos[B]]\(里\)A\(作为末端点出现了至少两次 理解？？\)pos[B]\(是右端点，\)pos[B]-len[B]\(为左端点，\)[pos[B]-len[B]+len[A]\(加上\)A\(的长度因为是\)A\(整个都在\)B\(内 而实际上作为后缀\)A\(右端点已经在\)pos[B]\(中出现过一次，所以我们只要求\)[pos[B]-len[B]+len[A],pos[B]-1]$内出现一次
而由于我们要求多次是否出现，所以线段树合并一下

题目三
\([l,r]\)在\([1,l)\)中出现过则可以花\(b\)花费压缩也可以花\(a\)压缩，否则只能花\(a\)压缩
添加\(i\)进去后，我们找到后面\(dp[j]\)由\(dp[i]\)转移过去，只要在\(SAM\)里跑就好了

题目四
建好自动机后，往下遍历，\(len≥k\)后则子树公共后缀都满足，染好色，区间查询就莫队