二分图小结
$S$表左边选的点集,$T$表右边选的点集
定义函数$f_{(x)}$为点$x$所在边集(这里不单指$S$与$T$构成的边)
最大匹配:$S$与$T$中分别均无重复节点所能选择的最多边
模板题:P2756 飞行员配对方案问题连边匈牙利输出方案
增广的本质题:P4055 [JSOI2009]游戏对于先手而言,若二分图不存在完美匹配,则放在非匹配点一定是最优的。使得后手第一步必定走到一个匹配点,先手只需要保证一直沿着匹配边走即可。存在完美匹配则先手必输,和前面的原理相同
二分图的最小点覆盖:${S}_{\cup}{T}$最小,且所有的边能被$f_{(\forall{x}\in{S})}$和$f_{(\forall{x}\in{T})}$表示
定理:最小点覆盖$=$最大匹配数
证明:想象一下吧,最小覆盖点数就是在最大匹配边数/2
模板题:最大独立集也就是最小点覆盖的模板题
最大独立集:${S}_{\cup}{T}$ 最小,$f_{(\forall{x}\in{S})}$和$f_{(\forall{x}\in{T})}$内均无重复点,且$f_{(\forall{x}\in{S})}$和$f_{(\forall{x}\in{T})}$交集为空
定理:最大独立集=总点数-最小覆盖点数
证明:显而易见,最小覆盖点能覆盖所有线段
模板题:P3033 [USACO11NOV]牛的障碍Cow Steeplechase相交线段连线,求最大匹配
带权匹配:顾名思义,求最大匹配同时权值最大,超级源点向左边点$i$连流量为1费用为权
左右点原有边连流量为1,费用为权,跑费用流
模板题:P4329 [COCI2006-2007#1] Bond当然这题状压也可做
练习:P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏(增广本质)
P1402 酒店之王(二分图其实是不可做的,数据较水可过,但通过理解不可做的原因加深增广意义)