20240924 练习记录

3 个 DP，还想了几道题，但不会。

*P3349 [ZJOI2016] 小星星

考虑树上的点最终会对应在图上的哪个点，设 \(f_{x,i}\) 表示树上的点 \(x\) 对应图上点 \(i\) 时的方案数，当 \(x\) 对应 \(i\) 后，在树上 \(x\) 的所有子节点也必须像在树上一样，在图上和 \(i\) 之间有连边，有了这条限制，可以写出状态转移方程 \(f_{x,i} = \prod_{y\in\text{son}(x)}\sum_{j=1}^n f_{y,j}\times g_{i,j}\)，其中 \(g\) 是图的邻接矩阵。

做到这里发现可能会有算重的部分，也就是说，树上有些点映射到图上的同一个点了，但是不要急着放弃，这个重复其实可以容斥掉！枚举所有点集合的子集 \(S\)，然后强制只能映射到图上的这些点中。\(\text{popcount}(S)=n\) 时加答案，\(\text{popcount}(S)=n-1\) 的时候扣掉……以此类推。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^32^n)\)。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
// #define int long long
 
const int N = 20;
 
int n,m;
 
int g[N][N],_g[N][N];
 
vector<int> G[N];
 
long long ans, f[N][N];
 
void dfs(int x,int fa){
    for (int i = 1;i <= n;i++) f[x][i] = 1;
    for (int y : G[x]){
        if (y == fa) continue;
        dfs(y,x);    
        for (int i = 1;i <= n;i++){
            long long sum = 0;
            for (int j = 1;j <= n;j++)
                sum += 1ll * f[y][j] * g[i][j];
            f[x][i] *= sum;
        }
    }
}
 
signed main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++){
        int x,y; cin >> x >> y;
        g[x][y] = g[y][x] = 1;
        _g[x][y] = _g[y][x] = 1;
    }
    for (int i = 1;i < n;i++){
        int x,y; cin >> x >> y;
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }
    for (int S = 1;S < (1 << n);S++){
        memset(f,0,sizeof(f));
        for (int i = 1;i <= n;i++){
            if (!(S & (1 << (i - 1)))){
                for (int j = 1;j <= n;j++)
                    g[i][j] = g[j][i] = 0;
            }
        }
        dfs(1,0);
        long long res = 0;
        for (int i = 1;i <= n;i++){
            if (S & (1 << (i - 1))){
                res += f[1][i];
            }
        }
        if (__builtin_popcount((1 << n) - S - 1) & 1)
            ans -= res;
        else ans += res;
        memcpy(g,_g,sizeof(g));
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

P6419 [COCI2014-2015#1] Kamp

很恶心的换根 DP！注意到点 \(i\) 最终的答案是，\(i\) 到所有关键点路径并 \(\times2\) 然后扣去与所有关键点里最大的那个的距离。到这里其实就做完了，细节非常多！求子树外最远距离需要记录次大值这是经典套路，求路径并的时候，要讨论子树内子树外是否有关键点的情况，在代码中标注出来了。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define int long long
 
const int N = 5e5 + 5;
 
int n,k,f[N],g[N],_g[N],h[N],_h[N],cnt[N]; bool v[N];
 
struct Edge { int y,z; };
 
vector<Edge> G[N];
 
void dfs(int x,int fa){
    if (v[x]) cnt[x]++;
    for (auto e : G[x]){
        int y = e.y, z = e.z;
        if (y == fa) continue;
        dfs(y,x);
 
        cnt[x] += cnt[y];
 
        if (cnt[y])                         // !
            f[x] += z + f[y];
 
        if (cnt[y]){
            if (g[y] + z > g[x]){
                h[x] = g[x]; _h[x] = _g[x];
                g[x] = g[y] + z; _g[x] = y;
            }
            else if (g[y] + z == g[x]){
                h[x] = g[y] + z; _h[x] = y;
            }
            else if (g[y] + z > h[x]){
                h[x] = g[y] + z; _h[x] = y;
            }
        }
    }
}
 
void dfs2(int x,int fa){
    for (auto e : G[x]){
        int y = e.y, z = e.z;
        if (y == fa){
            if (k - cnt[x] == 0) continue;  // !
            
            f[x] = f[y];
 
            if (cnt[x] == 0) f[x] += z;     // !
 
            if (_g[y] == x){
                if (h[y] + z > g[x])
                    g[x] = h[y] + z, _g[x] = y;
                else if (h[y] + z == g[x])
                    h[x] = h[y] + z, _h[x] = y;
                else if (h[y] + z > h[x])
                    h[x] = h[y] + z, _h[x] = y;
            }
            else{
                if (g[y] + z > g[x])
                    g[x] = g[y] + z, _g[x] = y;
                else if (g[y] + z == g[x])
                    h[x] = g[y] + z, _h[x] = y;
                else if (g[y] + z > h[x])
                    h[x] = g[y] + z, _h[x] = y;
            }
            continue;
        }
    }
    for (auto e : G[x]){
        int y = e.y, z = e.z;
        if (y == fa) continue;
        dfs2(y,x);
    }
}
 
signed main(){
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1;i < n;i++){
        int x,y,z; cin >> x >> y >> z;
        G[x].push_back({y,z}), G[y].push_back({x,z});
    }
    for (int i = 1;i <= k;i++){
        int x; cin >> x;
        v[x] = 1;
    }
    dfs(1,0);
    dfs2(1,0);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        cout << f[i] * 2 - g[i] << '\n';
    return 0;
}

**[ARC108E] Random IS

思考的时候从思维固化了，一直从顺序 DP 的角度去思考，然后就爆了啊。如果固定住一个区间 \([l,r]\)，那么区间外不管怎么选择，都不会影响到区间内的信息。那就可以考虑区间 DP。设 \(f_{l,r}\) 表示必须选 \(a_l,a_r\)，区间 \([l,r]\) 内标记个数的期望，区间 \((l,r)\) 内有 \(cnt\) 个不错的。转移直接枚举中间点 \(k\)，\(f_{l,r}=\dfrac{1}{k}\sum_{l<k<r,a_l < a_k < a_r}f_{l,k}+f_{k,r}+1\)。

这样时间复杂度是 \(O(n^3)\) 的，发现枚举过程中，\(l<k<r,a_l<a_k<a_r\) 是一个二维数点问题，于是可以固定下标，用权值树状数组求解，每次更新加入 \(f_{l,r}\) 即可。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 2e3 + 5, P = 1e9 + 7;
 
// #define int long long 
 
int n,a[N];
 
struct SZSZ{
    int c[N];
 
    void add(int x,int y){
        for (;x < N;x += x & -x) (c[x] += y) %= P;
    }
 
    int sum(int x){
        int y = 0;
        for (;x;x -= x & -x) (y += c[x]) %= P;
        return y;
    }
 
    int query(int l,int r){
        return (sum(r) - sum(l - 1) + P) % P;
    }
}t[N][3];
 
int qpow(int a,int b){
    int c = 1;
    for (;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % P)
        if (b & 1)
            c = 1ll * c * a % P;
    return c;
}
 
long long f[N][N];
 
signed main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> a[i], a[i]++;
    a[0] = 1, a[n + 1] = n + 2;
    for (int l = n;l >= 0;l--){
        for (int r = l + 1;r <= n + 1;r++){
            if (a[l] > a[r]) continue;
            int cnt = t[l][2].query(a[l] + 1,a[r] - 1);
            if (cnt)
                f[l][r] = 1ll * (t[l][0].query(a[l] + 1,a[r] - 1) + t[r][1].query(a[l] + 1,a[r] - 1)) * qpow(cnt,P - 2) % P + 1;
            t[l][2].add(a[r],1), t[l][0].add(a[r],f[l][r]), t[r][1].add(a[l],f[l][r]);
        }
    }
    cout << f[0][n + 1];
    return 0;
}

*\(\color{red}{\text{[ARC184D] Erase Balls 2D}}\)

想了很久还是不会。

*\(\color{red}{\text{CF708E Student's Camp}}\)

想到了和一篇题解类似的做法，但只会用一次的前缀和优化，再往后晕了，先咕着明天写。