[学习笔记] 斜率优化

引入

斜率优化用于求解类似于 \(f_i = f_j + a_ib_j + c_i\) 使 \(f_i\) 最大或最小之类的形式的 DP 转移，标志就是其中有一项（如 \(a_ib_j\)）与 \(i,j\) 均有关联。

求解

令 \(j\) 为 \(i\) 的最优决策点，也就是 \(f_i = f_j + a_ib_j + c_i\)，我们将其进行一些移项可以得到 \(f_j = - a_ib_j + f_i - c_i\)。发现这时的式子很像直线的表达式：\(y=kx+b\)，其中 \(y = f_j,k = -a_i,x = b_j,b = f_i - c_i\)。那么我们的目的就是找到这样一条斜率为 \(-a_i\)，过点 \((b_j,f_j)\) 的直线使得其截距尽可能大或者小。然后要做的就是观察斜率 \(k\) 的单调性，以及题目中要求的是最值情况，再考虑用单调队列还是单调栈维护上凸壳还是下凸壳。