1 前言
在 前面的博客 CRC校验原理和verilog实现方法(一) 中，介绍了CRC校验的原理和手动计算过程。本文说一下我在学习CRC校验FPGA实现的一点心得体会。
2 线性反馈移位寄存器
线性反馈移位寄存器简称LFSR，用于产生可重复的伪随机序列，也可用来实现CRC校验。LFSR主要由触发器(寄存器)、异或门以及反馈线路组成。
已知多项式
，其中gn~g0 是系数，g0取值为1，其他系数可以是0或1。该多项式用二进制表示为
，用LFSR表示为：
或者表示为：
第一种表示法为伽罗瓦LFSR，第二种表示法叫斐波那契LFSR。
可以看出，对于一个n次多项式，可以使用n-1个移位寄存器和最多n-2个异或门实现。LFSR可以实现模二除法。
3 模2除法与LFSR
把被除数的数据，从第一个寄存器的输入端接入，就可以实现模二运算。
假如被除数是2位的数据S[1:0]=01b，多项式是10011b。在CRC校验里面，习惯省略最高位的1，多项式用0011b表示。那么S除以0011b的模二运算数字电路结构为：
其中d1~d4是寄存器输入；q1~q4是寄存器输出。寄存器需要赋初值，一般赋全1或全0。
下面对模二运算的逻辑表达式进行推导。
首先MSB参与计算，此时：
d1=S[1]^q4;
d2= S[1]^q1^q4;
d3=q2;
d4=q3。
经过一次移位后：
q1=d1= S[1]^q4;
q2= d2= S[1]^q1^q4;
q3= d3=q2;
q4= d4=q3。
此时有：
d1=S[0]^q3;
d2= S[0]^ S[1]^q4^q3;
d3= S[1]^q1^q4;
d4= q2。
令c[3:0]={q4,q3,q2,q1}，d[3:0]={d4,d3,d2,d1}，那么d就是最终的运算结果表达式，如下
d[3]=c[1];
d[2]= S[1]^c[0]^c[3];
d[1]= S[0]^ S[1]^ c[3]^ c[2];
d[0]= S[0]^ c[2]。
令c的初值为0，则01b对0011b的模二除法的余数为0011b。
与手动计算进行对比，结果一致。
上述的被除数S可以换成任意位宽，推导过程一样，当然S位宽越大，推导越复杂，最终的逻辑表达式也越复杂。
上面的逻辑表达式，用verilog异或逻辑很容易实现。
4 CRC校验的verilog实现
知道如何用verilog实现模二除法，CRC校验的实现就很容易了。但是CRC校验模型一般会有一些特定要求，如输入输出翻转、CRC寄存器初始值等。下一篇博客继续分享。
参考链接：
1、 https://blog.csdn.net/qq_44113393/article/details/89852994
2、 https://www.cnblogs.com/weijianlong/p/11947741.html
