动态规划算法（背包问题）

1.应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ，现有如下物品

1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出

2)要求装入的物品不能重复

2.动态规划算法介绍

1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3)与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

3.动态规划算法最佳实践-背包问题

思路分析和图解

•背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)

•这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

算法的主要思想

利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。

再令v[i][j]表示在前i(行数）个物品中能够装入容量为j（列数）的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,

// 装入的方式:

v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i] : 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

验证公式:

v[1][1] =1500

1. i = 1, j = 1

2. w[i] = w[1] = 1

w [1] = 1 j = 1 v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

v[1][1] = max {v[0][1], v[1] + v[0][1-1]} = max{0, 1500 + 0} = 1500

v[3][4]

1. i = 3；j = 4

w[i] = w[3] =3 j = 4

j = 4 >= w[i] = 3 => 4 >= 3

v[3][4] = max {v[2][4], v[3] + v[2][1]} = max{3000, 2000+1500} = 2000+1500

4.代码实现

package com.yt.dynamic;

public class KnapstackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] w = {1,4,3};//物品的重量
		int[] val = {1500,3000,2000};//物品的价值，这里val[i]表示前面笔记中的v[i]
		int m = 4;//背包的容量,最多可以装多少东西
		int n = val.length;//表示物品的个数，与价格的数量是相等的
		
		// 创建二维数组
		//v[i][j] 表示在第i个物品中能装入容量为j的背包的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//为了记录商品的放入情况，定义一个二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
		
		//初始化第一行和第一列，当然可以不用处理，以为默认值都是0
		for(int i = 0; i < v.length; i++){
			v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
		}
		for(int i = 0; i < v[0].length; i++){
			v[0][i] = 0;//将第一列设置为0
		}
		
		//根据前面的公式来动态规划处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++){//不处理第一行，i是从1开始的
			for(int j = 1; j < v[0].length; j++){//不处理第一列，j是从1开始的
				//带入公式处理动态规划问题
				if (w[i-1] > j) {
					//因为程序i是从1开始的，因此原来公式中w[i] 要修改成w[i-1]
					v[i][j] = v[i-1][j];
				} else {
					//说明：注意下标需要减1的位置
					v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]);
					//为了记录商品存放到背包的情况，不能直接使用上述公式，使用if-else来代替
					if (v[i-1][j] < val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]) {
						v[i][j] = val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];
						// 把当前的情况记录到path中
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i-1][j];
					}
					
				}
			}
		}
		
		//输出v
		for(int i = 0; i < v.length; i++){
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++){
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		System.out.println("===============================");
		// 输出最后放入的商品是哪些
		//遍历path,输出所有的放入商品的情况,	其实我们只需要最后一次的输出
//		for(int i =0; i<path.length;i++){
//			for(int j=0; j<path[i].length;j++){
//				if (path[i][j] == 1) {
//					System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n" , i);
//				}				
//			}
//		}
//		
		//动脑筋
		int i = path.length -1;//行的最大下标
		int j = path[0].length -1;//列的最大下标
		while(i>0 && j>0){
			//从path的最后开始
			if (path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n" , i);
				j -= w[i-1];
			}
			i--;
		}
		

	}

}