多路查找树（B树，B+树、B*树）

1.二叉树问题分析

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树

1)二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如1亿， 就存在如下问题

2)问题1：在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响.

3)问题2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.

2.多叉树解决二叉树问题

1)在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）

2)后面我们讲解的2-3树，2-3-4树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。

3)举例说明(下面2-3树就是一颗多叉树)

3.B树的基本介绍

B树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少i/o读写次数来提升效率。

1)如图B树通过重新组织节点， 降低了树的高度.

2)文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为4k)，这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入

3)将树的度M设置为1024，在600亿个元素中最多只需要4次I/O操作就可以读取到想要的元素, B树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

3.1 B树的介绍

B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻译成B-树，容易让人产生误解。会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。实际上，B-tree就是指的B树。

我们在学习Mysql时，经常听到说某种类型的索引是基于B树或者B+树的，如图:

B树的说明:

1)B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4

2)B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点

3)关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.

4)搜索有可能在非叶子结点结束

5)其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

4. 2-3树基本介绍

2-3树是最简单的B树结构, 具有如下特点:

1)2-3树的所有叶子节点都在同一层.(只要是B树都满足这个条件)

2)有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.

3)有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.

4)2-3树是由二节点和三节点构成的树。

4.1 2-3树应用案例

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28,38, 20} 构建成2-3树，并保证数据插入的
大小顺序。

插入规则:

1)2-3树的所有叶子节点都在同一层.(只要是B树都满足这个条件)

2)有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.

3)有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点

4)当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3个条件。

5)对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

5. 234树

概念和23树类似，也是一种B树。 如图:

6.B+树的介绍

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树。

B+树的说明:

1)B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

2)所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。

3)不可能在非叶子结点命中

4)非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层

5)更适合文件索引系统

6)B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然.

7.B*树的介绍

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树的说明:

1)B树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。

2)从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高