[Codefoeces398B]Painting The Wall(概率DP)

 

题目大意：一个$n\times n$的棋盘，其中有$m$个格子已经被染色，执行一次染色操作(无论选择的格子是否已被染色)消耗一个单位时间，染色时选中每个格子的概率均等，求使每一行、每一列都存在被染色的格子的期望用时。

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传送门

显然，被染色的砖的位置对解题是没有影响的，我们可以将已染色砖所在的行和列移动到右下角，问题就转化到了在更小棋盘中的新问题。

在任一时刻，棋盘内的状态如下：

其中绿色区域为当前问题的棋盘，选中对行和列都有贡献；

选中黄色对行或列有贡献；

选中红色没有贡献；

设$f[i][j]$表示剩余$i$行$j$列未染色，则$$f[i][j]=\frac {i\times j\times f[i-1][j-1]+i\times (n-j)\times f[i-1][j]+(n-i)\times j\times f[i][j-1]+(n-i)\times (n-j)\times f[i][j]} {n^2}$$

两边都有$f[i][j]$,化简得：$$f[i][j]=\frac {n^2+i\times j\times f[i-1][j-1]+i\times (n-j)\times f[i-1][j]+(n-i)\times j\times f[i][j-1]} {n^2-(n-i)\times (n-j)}$$

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代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
using namespace std;
typedef double db;
const int N=2010;
db f[N][N];
int br[N],bc[N],n,m,x,y,r,c;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    r=c=n;
    foru(i,1,m){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(!br[x])br[x]=1,r--;
        if(!bc[y])bc[y]=1,c--;
    }
    f[0][0]=0;
    foru(i,1,n){
        f[i][0]=f[i-1][0]+(db)n/i;
        f[0][i]=f[0][i-1]+(db)n/i;
    }
    foru(i,1,r)
        foru(j,1,c){
            f[i][j]=(db)n*n+(i*j*f[i-1][j-1]+i*(n-j)*f[i-1][j]+(n-i)*j*f[i][j-1]);
            f[i][j]/=(n*n-(n-i)*(n-j));
        }
    printf("%.10lf\n",f[r][c]);
}