概率/期望DP初步——BZOJ1415 聪聪和可可

期望相关：

　　数学期望，可以简单理解的加权平均数。设有一系列的值$x_i$，每个值被取到的概率为$p_i$，则期望$E=\sum\limits_{i=1}^n p_i x_i$。

　　期望具有线性性： $$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ $$E(XY)=E(X)E(Y)$$ 大概就是说求期望的时候正着反着乱序着乱搞求出来的都是对的。。。

 

基于期望的线性性，我们可以在概率和期望之间建立一定的递推关系，这样就可以通过动态规划来解决一些概率问题。

 

比如NOI2005的聪聪和可可。

题目大意：给定一个无向图，聪聪在起点，可可在终点，每个时刻聪聪会沿最短路走向可可两步(如果有多条最短路走编号最小的点)，然后可可会等概率向周围走或不动，求平均多少个时刻后聪聪和可可相遇。

 

设聪聪在节点$x$,可可在节点$y$

设$f[u][v]$为聪聪在$u$可可在$v$时聪聪抓住可可的期望时间,$p[u][v]$为为聪聪在$u$可可在$v$时聪聪下一步会到达的节点,$degree[v]$为节点$v$的度；

显然，当$x=y$时$f[x][y]=0$；当$0<dis[x][y] \leqslant 2$时$f[x][y]=1$。

 当$dis[x][y]>2$时， $$f[x][y]=\frac{f[p[x][y]][y]+\sum\limits_{e(y,k)} f[p[x][y]][k]}{degree[x]+1}$$

对每个节点进行一次SPFA求出p[][]

然后根据上述状态转移方程记忆化搜索就好。

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
using namespace std;
const int N=1e4+10;
struct edge{int to,nxt;}e[N*2];
queue<int> q;
int head[N],vis[N],d[N],ne,n,m,s,t,p[1005][1005];
double f[1005][1005];
void add(int a,int b){e[++ne]=(edge){b,head[a]};head[a]=ne;}
void spfa(int x){
    memset(d,127,sizeof(d));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(x);d[x]=0;vis[x]=1;
    while(!q.empty()){
        int k=q.front();q.pop();
        vis[k]=0;
        for(int i=head[k];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(d[v]>d[k]+1||(d[v]==d[k]+1&&k<p[v][x])){
                d[v]=d[k]+1;
                p[v][x]=k;
                if(!vis[v]){
                    q.push(v);
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}

double dfs(int x,int y){
    if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
    if(x==y){f[x][y]=0;return 0;}
    if(p[x][y]==y||p[p[x][y]][y]==y){f[x][y]=1;return 1;};
    f[x][y]=dfs(p[p[x][y]][y],y);int d=0;
    for(int i=head[y];i;i=e[i].nxt){
        d++;
        int v=e[i].to;
        f[x][y]+=dfs(p[p[x][y]][y],v);
    }
    (f[x][y]/=d+1);
    f[x][y]+=1;
    return f[x][y];
}

int main(){
    int u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%d%d",&s,&t);
    foru(i,1,m){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    foru(i,1,n)foru(j,1,n)f[i][j]=-1;
    foru(i,1,n)spfa(i);
    double ans=dfs(s,t);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}

 

DP一直是弱项，总是找不到套路，还是多做点题吧。