有关 Gauss 积分的一些证明和理解

引言: 总所周知,积分是一个比较需要启发式技巧的过程,这些技巧在某些情况下在我看来无关分析,甚至不是特别关乎组合和代数运算,主要关乎人类智慧(所以有些奇怪的积分技巧会让人(起码像我这样的菜狗)觉得莫名其妙

本文致力于用一些比较不反人类的方法计算 Gauss 积分

即证明

\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\) = \(\sqrt{\pi}\)

由于 \(e^{-x^2}\) 是偶函数,形式化且严格地说,我们希望证明:

\(\lim_{a\rightarrow \infty}\int_{0}^a e^{-x^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

先证明一个引理 (微分与积分的交换定理,这个也是几乎所有的含参积分可以做的理论基础)

• 若 \(f(x,t)\) : \([a,b] \times [t_0-c,t_0 + c]\rightarrow \R\) 是连续函数

• 且 \(\forall x \in [a,b]\), \(\frac{df}{dt}:[a,b] \times [t_0 - c,t_0 + c] \rightarrow \R\) 存在且连续

则 \(\frac{df}{dt} \int_{a}^b f(x,t) dx = \int_{a}^b \frac{df}{dt}f(x,t) dx\)

example: 若 \(f\) 满足上述条件

则\(\frac{d}{dt}\int tx dx = \int \frac{d}{dt} (tx) dx = \int x dx\)

proof:
$ \frac{F(t+h) - F(t)}{h}= \frac{(\int_a^b f(x,t+h) - \int_{a}^b f(x,t))}{h}$

\(= \int_{a}^b\frac{f(x,t+h) - f(x,t)}{h}\)

考虑 Lagrange 中值定理

\(= \int_{a}^b{\frac{df}{dt}f(x,t+\theta h)}(\theta \in (0,1))\)

所以 $\frac{F(t+h) - F(t)}{h} - \int_a^b \frac{df}{dt} f(x,t) $

\(= \int_{a}^b \frac{df}{dt}f(x,t+\theta h) - \frac{df}{dt} f(x,t)\)

考虑到 \(\frac{df}{dt} f(x,t)\) 是连续函数,并且是定义在 \([a,b] \times [t_0 - c,t_0 + c]\) 一个紧集上的,所以该函数必一致连续

所以 \(\forall \epsilon\),存在足够小的 \(h\),使得 \(|\frac{df}{dt}f(x,t+\theta h) - \frac{df}{dt} f(x,t)| < \frac{\epsilon}{b-a}\)

所以 \(\forall \epsilon > 0\)

\(|\lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(t+h) - F(t)}{t} - \int_{a}^b \frac{df}{dt}f(x,t) dx| < \epsilon\)

证毕

我们先来看一个比较反人类(但其实非常巧妙的)的做法

设 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\),设 \(F(t) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{\frac{-t^2(x^2 + 1)}{2}}}{1 + x^2} dx\)

则 \(F'(t) = (-e^{\frac{t^2}{2}})\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{(tx)^2}{2}} d(tx)\)

所以 \(F(\infty) - F(0) = -I^2\)

注意到 \(F(\infty) = 0,F(0) = \frac{\pi}{2}\)

所以 \(I = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\)

通过简单的换元即可得到 \(Gauss\) 积分的结果

但是,但是 这个 \(F\) 实在是太逆天了,怎么会想到设这个 \(F\),反正我刚开始看到的时候一脸懵逼

以下稍微解释一下我思考这个 \(F\) 是怎么来的动机,让它稍微不那么逆天

(因为一些比较方便的原因,我们还是计算上面给的 \(I\),而不是 \(Gauss\) 积分本身,但这两个只差了常数倍)

我们似乎很少见过任何初等函数的积分是带 \(\sqrt{\pi}\)

所以很自然地我们希望将该积分平方即计算 \(I^2\)

我们考虑什么函数的积分会等于 \(I^2\)

于是我们有了第一版的 \(F'\)

\(F'(t) = e^{\frac{-t^2}{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)

很显然 \(\int_{0}^{\infty} F'(t) = I^2\)

但是,但是根据这个我们压根没法求出原函数,因为后面带的常数正是我们要求的 \(I\)

所以我们考虑让后面的积分项不是一个常数,而是一个带指数形式的函数(因为对指数函数进行积分一般都是比较简单的),这也是所谓的含参积分法的思想

我们考虑设计第二版的函数

\(F'(t) = e^{-\frac{t^2}{2}} \int_{0}^\infty e^{-\frac{(tx)^2}{2}} d(tx)\)

所以 \(F'(t) = \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^2(1+x)^2}{2}} t dx\)

根据所谓的积分和微分交换定理,我们可以只对 \(e^{-\frac{t^2(1+x)^2}{2}} t\) 求原函数,而这个是 easy 的

于是我们可以得到 \(F(t) = - \int_{0}^{\infty}\frac{e^{\frac{-t^2(x^2 + 1)}{2}}}{1 + x^2} dx\)

和上面定义的 \(F\) 仅差一个负号

结语:虽然看起来稍微可以理解一点了,但感觉还是有很多人类智慧的成分在里面,但毕竟积分就是一个"启发式"技巧的过程吧

\(ps:\) 不过如果你知道 fubini 定理的话,这个积分将有一个极其自然的解法

\((\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}) ^ 2dx\)

\(= \int_{R} e^{-x^2} \int_{R} e^{-y^2}dydx\)

\(= \int_{R}\int_R e^{-(x^2+y^2)} dydx\)

\(= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta\)

\(= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta\)

\(= \pi\)