超几何函数学习笔记
也不知道这玩意在\(OI\)里有没有用,看到觉得挺有意思,然后又因为这几天颓废没事做,就学了一下
如果非常幸运进入集训队,就把这个当论文吧
引入
- 定义:超几何函数形如:\(F(\binom{a_1,a_2.....a_n}{b1,b2.....b_m},z) = \sum_{k}^{\infty}\frac{\prod_{i}a_i^{\bar{k}}z^k}{\prod_jb^{\bar{k}}k!}\)
- 定义级数\(t_k = \frac{\prod_{i}a_i^{\bar{k}}z^k}{\prod_jb^{\bar{k}}k!}\)
- 注意按照定义,有\(t_0 = 1\)
- 超几何函数的强大之处在于,它可以将许多有关二项式的和式归为若干类,然后运用已有的公式来计算封闭形式
- 如以下最经典的公式
- \(F(\binom{a,-n}{c},1) = \frac{(c-a)^{\bar{n}}}{c^{\bar{n}}}\),\(n \ge 0\)
正文
- 如何从和式推出相应的超几何函数
- 一些经典的超几何函数公式
- 超几何函数的适用性和局限性
- *机械求和法
希望这次我不会咕咕
如何从和式推出相应的超几何函数?
- 注意级数\(\frac{t_{k+1}}{t_k} = \frac{\prod_i(k+a_i)(z)}{\prod_j(k+b_j)(k+1)}\),且任意有理函数都可以写成这种形式
- 也就是说我们只要求出级数的比值就可以求出对应的超几何函数
- \(example:\)求\(\sum_{k}\frac{\binom{n}{k}}{\binom{m}{k}}\\\)
\[\begin{aligned}
&解:令t_k = \frac{\binom{n}{k}}{\binom{m}{k}}\\
&所以\frac{t_{k+1}}{t_k} = \frac{n^{\underline{k+1}}}{n^{\underline{k}}}\times \frac{m^{\underline{k}}}{m^{\underline{k+1}}}\\
&=\frac{(k-n)*(k+1)*1}{(k-m)*(k+1)}\\
&又因为t_0 = 1\\
&所以原式 = F(\binom{-n,1}{-m},1)\\
&=\frac{(-m-1)^{\bar{n}}}{(-m)^{\bar{n}}}\\
&= \frac{m+1}{m-n+1}
\end{aligned}\]
