WC2016模拟Divisor

题意:若一个数n能被表达为n的k个因数的和(因数可重复使用),则称n是k表达数

多组测试数据T,求A~B的k表达数数量

数据范围:A,B<=1e18,T<=5e4,2<=k<=7

解析:这题第一眼看过去极其不可做,我考试时直接放弃

有一个比较显然的性质,如果一个数是k表达数,那么它的倍数一定都是k表达数.

如果n = ∑_(k|n)k,那么显然有x*n = Σ_(x*k|x*n)x*k;

所以可以猜想对于每个k我们都可以找出它的几个最小k表达数x_i,且任意i,j都不满足x_i|x_j，然后它们的所有倍数都是k表达数

爆搜一下可以发现x_i很小且很少

如:k = 2 : 2(1 + 1)

　　= 3 : 3(1 + 1+  1) 4(1 + 1 + 2)

　　= 4: 4(1 + 1 + 1 + 1) 6(1 + 2 + 2 + 1) 10(2 + 2 + 5 + 1)

即使等于7也只有15个x_i,所以转化为经典问题,问A~B之间有几个数是给定的数的至少一个的倍数,容斥一下即可

注意暴力容斥2^15 * T是过不了的,所以需要开个Map记录一下,各个最小公倍数的贡献(因为最小公倍数可能会重复,如24,54,36的最小公倍数与24,54的最小公倍数是相同的),奇加偶减即可

代码如下:

/*divisor*/
#include<cstdio> 
#include<iostream>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
ll read(){
	char c = getchar();
	ll x = 0;
	while(c < '0' || c > '9')	c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9')		x = x * 10 + c - 48,c = getchar();
	return x;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
map<ll,ll>Map[11];
vector<int>valid[11];
vector<int>pr[510];
int a[maxn];
bool used[11][510];
vector<int>num[11];
vector<int>op[11];
ll gcd(ll x,ll y){
	return (y == 0)?x:gcd(y,x%y);
}
ll lcm(ll x,ll y){
	return x / gcd(x,y) * y;
}
bool Dfs(int x,int n,int step,int k){
	if(step == k + 1){
		ll g = 0;
		ll sum = 0;
		for(int i = 1; i <= k; ++i)
			g = gcd(g,a[i]),sum += a[i];
		if(g == 1 && sum == x)	return true;
		return false;
	}
	for(int i = n; i < (int)pr[x].size(); ++i){
		int v = pr[x][i];
		a[step] = v;
		if(Dfs(x,i,step+1,k))		return true;
		a[step] = 0;
	}
	return false;
}
int main(){
	for(int i = 1; i <= 500; ++i)
		for(int j = 1; j * i <= 500; ++j)
			pr[j*i].push_back(i);
	int t = read();
	while(t--){
		ll a = read(),b = read(),k = read();
		if(!Map[k][0]){
			for(int i = 1; i <= 500; ++i){
				if(Dfs(i,0,1,k)){
					bool flag = 1;
					for(int j = 0; j < (int)pr[i].size(); ++j){
						if(used[k][pr[i][j]]){
							flag = 0;
							break;
						}
					}
					if(flag)
						valid[k].push_back(i),used[k][i] = true;
				}
			}
			Map[k][0] = 1;
			int n = valid[k].size();
			int tot = -1;
			for(int i = 1; i < (1 << n); ++i){
				ll lc = 1;
				int cnt = 0;
				for(int j = 0; j < n; ++j){
					if(i & (1 << (j)))	cnt++,lc = lcm(lc,valid[k][j]);
				}
				int o = (cnt & 1)?1:-1;
				if(!Map[k][lc]){
					Map[k][lc] = ++tot;
					num[k].push_back(lc),op[k].push_back(o);
				}
				else{
					op[k][Map[k][lc]] += o;
				}
			}
		}
		ll Ans = 0;
		for(int i = 0; i < (int)num[k].size(); ++i){
			ll v = num[k][i],o = op[k][i];
			Ans += o * ((b / v) - ((a - 1) / v));
		}
		printf("%lld\n",Ans);
	}
	return 0;
}