The Minimum Cycle Mean in a Digraph 《有向图中的最小平均权值回路》 Karp

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Karp在1977年的论文，讲述了一种$O(nm)$的算法，用来求有向强连通图中最小平均权值回路（具体问题请参照这里）

本人翻译（有删改）：

首先任取一个节点 $s$ ，定义 $F_k(v)$ 为从 $s$ 到 $v$ 恰好经过 $k$ 条边的最短路（不存在则为 $\infty$ ）， $\lambda^*$ 表示答案，则

Theorem 1

$$\tag{1}\label{theorem}\lambda^* = \min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]$$

定理1的证明需要一个引理。

Lemma 2

如果$\lambda^* = 0$,那么

$$\min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] = 0$$

Proof. 由于 $\lambda^* = 0$ , 存在一个零环，但不存在负环。由于没有负环，从 $s$ 到 $v$ 一定存在最短路（指取值和最小路径），且路径上边的条数不超过 $n$ 。令其权值和为 $\pi(v)$ , 则 $F_n(v) \geq \pi(v)$ , 且 $\pi(v) = \min_{0 \leq k \leq n - 1} F_k(v)$ , 所以

$$F_n(v) - \pi(v) = \max_{0 \leq k \leq n - 1} [F_n(v) - F_k(v)]$$

又由$F_n(v) \geq \pi(v)$，

$$\tag{2}\label{lemma}\max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] \geq 0$$

$(\ref{lemma})$ 中等号成立当且仅当 $F_n(v) = \pi(v)$ . 现在我们只需要证明存在这样一个节点就可以完成此引理的证明。由条件可知，图中存在零环。令此零环为 $C$ ,在环上任选一点 $x$ , 沿环上的边走若干步后到 $x$ , 那么 $s\leadsto x\leadsto y$ 一定是一条 $s-y$ 最短路（不然的话，有某条路径$s\leadsto y$权值和小于这条路径，我们就可以走$s\leadsto y \leadsto x$，第二部分路径在环上走，容易发现这样是更短的$s-x$路径，与最短路不符）。那么，从 $x$ 出发沿零环走若干步直到 $s\leadsto x\leadsto y$ 上有$n$条边时，就有 $F_n(y) = \pi(y)$ , 即 $$\max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] = 0$$ . 证毕。

Proof of Theorem 1. 我们现在讨论将图中所有边权都增加 $c$ 之后定理1中的两边会怎么变化。 $\lambda^*$ 增加$c$ , 因为所有环的平均权值都增加了 $c$ . $F_k(v)$ 会增加 $kc$ ,

$$\min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]$$

也会增加 $c$ . 所以定理1等号两边都增加了相同的量，仍然成立。据此，若给定任意一个图，我们将它的所有的边都同时减去某个数$c$（有可能小于0），使得存在零环而无负环，这时定理成立；我们再把每条边都加上$c$，就可以得知原图中定理成立。 证毕。

我们可以通过下述递推式求出所有 $F_k(v)$ :

$$F_k(v) = \min_{(u, v) \in E} \left[F_{k - 1}(u) + w(u, v)\right],\,k=1,2,...,n$$

其初始条件

$$F_0(s)=0; F_0(v)=\infty,v\neq s$$

由于每条边会被松弛 $O(n)$ 次，最后求出 $\lambda^*$ 的值需要 $O(n^2)$ , 总时间复杂度为 $O(nm)$ .

原论文中要求图强连通，实际上不必如此（以下原创）。

容易发现，如果图不强连通，只有两个地方可能会出问题：第一，可能有些环从$s$无法达到，从而无法参与计算；第二，$F_n(v)$有可能是正无穷（而强连通图一定不是）。

那么，我们新建一个点（注意，实现时可能不显式写出这个点，但式子里的$n$必须要算到$n+1$，或者强行把所有$F$的下标都减一也可以），从它到每个点连一条权值任意（比如都为0）的边，容易知道答案不变。以新的节点作为$s$，漏洞一就被填补了。

对于第二个漏洞：计算 $\lambda^*$ 时，由于我们从 $s$ 向每个点连了一条边，若 $F_n(v) = \infty$ , 其一定不在任何一个环上（不然显然我可以在这个环上走几圈然后肯定能到这个点），直接忽略。

所以，对于任意有向图$G$，添加$s$点之后，

$$\lambda^*=\min_{v \in V,F_n(v)\neq \infty} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]\qquad$$