BZOJ1297 [SCOI2009]迷路

Description

windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？ 注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

第一行包含两个整数，N T。 接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。 为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

【输入样例一】
2 2
11
00

【输入样例二】
5 30
12045
07105
47805
12024
12345

Sample Output

【输出样例一】
1

【样例解释一】
0->0->1

【输出样例二】
852

HINT

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

题解

令邻接矩阵中所有k组成的矩阵为$A_k$，$i$阶邻接矩阵为$T_i$，即$T_{i,a,b}$表示从$a$到$b$恰好走$i$的时间的方案数。

那么有

$$T_i = \sum_{j=1}^9 A_j * T_{i-j}$$

我们发现，如果我们把$A_j$和$T_i$都看做单个数，那么这就是经典的线性常系数递推方程，可以用矩阵快速幂解决。

$A_j,T_i$是矩阵也可以这么做，只是1变成了单位矩阵，0变成了零矩阵，递推矩阵变成了“矩阵的矩阵”（当然，在实现上，我们可以把它“拍扁”）。

那么直接强上矩阵快速幂就行了。

附代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 15;
const int mod = 2009;
int nn;
struct Matrix{
  int v[N * 9][N * 9];
  Matrix() {
    memset(v, 0, sizeof v);
  }
  friend Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix ans;
    for (int i = 0; i < nn; ++i) 
      for (int j = 0; j < nn; ++j) if (a.v[i][j])
        for (int k = 0; k < nn; ++k)
          ans.v[i][k] = (ans.v[i][k] + a.v[i][j] * b.v[j][k]) % mod;
    return ans;
  }
};
Matrix D;
Matrix ans;
int main() {
  int n, t;
  scanf("%d%d", &n, &t);
  nn = n * 9;
  int x;
  for (int i = 0; i < n; ++i)
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      scanf("%1d", &x);
      if (x) D.v[i][(x - 1) * n + j] = 1;
    }
  for (int i = 0; i < 8 * n; ++i)
    D.v[i + n][i] = 1;
  for (int i = 0; i < n; ++i)
    ans.v[i][i] = 1;
  for (; t; D = D * D, t >>= 1)
    if (t & 1) ans = ans * D;
  printf("%d\n", ans.v[0][n - 1]);
  return 0;
}