2024 syzx 冬季训练 6 - 树

A

问题等价于任选一条路径，使路径长度减路径端点权值的差最大。

B

\(\lceil \frac{n}{2}\rceil+3\) 次询问一条边是否存在，判断一棵树是菊花还是链。

\(\lceil \frac{n}{2}\rceil\) 次询问问遍 1 到 n，找出一条边，3 次判断答案。

C

DP 做法

考虑树形 DP，对于一个子树而言，最多可能有 4 种情况：贡献 1 个给父亲、不需要父亲贡献、父亲贡 献 1 个给该子树、父亲贡献 2 个给该子树。 那么，设 \(f_{u,-1/0/1/2}\)分别表示子树 u 对应的这些情况。转移时考虑枚举 u 所有儿子 v 的情况，注意一 下 u 自己本身是否已经种上树、以及两个 \(f_{v1,1},f_{v2,1}\) 可以合并（即使用一次操作完成）的情况即可。 实现细节可能较多。

贪心做法

对于一次操作，最多完成两个未完成的节点。 对于一个大小为 siz 的子树，且只有根节点完成了，那么一共需要 \(\lfloor siz/2\rfloor\) 次操作。 对子树根节点是否完成进行分类讨论：

• 如果根节点已经完成了，那么这个子树对根节点父亲的贡献就有两种情况：用最少次数做完子树 时，是否存在多余的、且对子树根节点的父亲有贡献的操作。

• 如果根节点没有完成，则直接将 siz 向上传递。直到遇到一个已经完成的祖先，在那个祖先中对 siz 进行统计即可。

  总的时间复杂度为 O(n)。

D

路径的花费为最大值加次大值，求从 1 到 n 的最小花费。

首先可以注意到最大的边在原图的最大生成树上。所以我们先求出最大 生成树，然后分别从 1 和 n 出发对树进行 dfs，求出 1 或者 n 到其他点 的瓶颈边的权值。接着枚举次大的边 (u, v)，再枚举 1 是和 u 连的还是 和 v 连的，求出瓶颈边，两者一拼可得结果。 注意特判只通过一条边连接的情况。

E

判断一个图的所有生成树是否同构。

除了树和基环树都是 no。

对于基环树，环上的有根树排开长成 aaaaa 和 ababab 这样时是 yes，其他是 no。

F

给定一棵树，有一些关键点 ci，你需要选定 r 和 d。最小化 \(\frac{\sum dis(r,c_i)}{\gcd dis(r,c_i)}\)。

对于节点 u，它到子树内的关键点的距离的集合为 \(\{a_1,a_2\ldots a_c\}\)。记 \(f_u=a_1,g_u=\gcd (a_2-a_1,\ldots a_c-a_1)\)。

这样的状态可以转移，换根 dp 即可。

G

给定一颗二叉树，每个点有两个属性 \(a_i,b_i\)，你需要对每个点 \(u\) 解决以下问题：你可以随意取或不取 \(u\) 和 \(u\) 的祖先的 \(a_i\)，问是否可以使取出来的 \(a\) 的和等于 \(b_u\)

\(n\le 300000，a_i\le 2000000\)。

而这显然是不可做的，为了降低难度，你可以任意修改最多 5000 个点的 \(a_i\)，然后再做以上问题。

空间 256mb

把前 11 行改成 \(2^{20},2^{19},\ldots ,2^{10}\)，令 \(dp_i\) 表示选出的数的和二进制后 10 位为 i，高位的最小值。

用重链剖分压缩空间，先走亲儿子（从父亲的 dp 复制一份），走完之后就可以销毁副本，最后再走重儿子（直接从父亲继承）。

H

选 k 条路径交的点数总和减去选 k 条路径交的边数总和就是答案。

I

两人博弈，给定一个森林，每人每轮采取以下行动之一：

1. 删一条边
2. 删一个点

无法行动者输，问先手第一步有多少种行动方法，使得自己必胜。

考虑单棵树的 SG 函数。 结论：对于有奇数个结点的树，其 SG 函数值为 1。对于有偶数个结点的数，其 SG 函数值为 2。

J

定义 \(\omega(x)\) 为 \(x\) 的质因数个数。

\(q\) 次询问，每次输入 \(l,r\)，以下方式生成一张图：

点的编号为 \(l\ldots r\)，\(x\) 和 \(y\) 之间的边的边权为 \(\omega(lcm(x,y))\)。

求最小生成树。

\(\sum r\le 10^6\)

首先考虑 [L,R] 范围中存在质数的情况。基于Kruskal，此时对于任何一个数 x， 只需要考虑价值为 w(x) 和 w(x)+1 的边即可（要么找一个质因子集合包含 x 的数 相连，要么和那个质数相连）。

我们可以预处理出每个整数 x 在 1e6 范围内的两个值：

• l_x : 小于 但其质因子集合被 " 的质因子集合" 包含的最大的数。

• r_x : 大于 但其质因子集合被 " 的质因子集合" 包含的最小的数。

  这两个值都可以 O(nlogn) 处理。（用欧拉筛求出最小质因子，即可 O(logn) 分解质因子。搜索以遍历 x 质因子集合的数）

质因子集合相同的整数之间，可以先互相连接形成连通块，视为一个点。每个点贪 心向任何一个自己包含的点连边即可，最后会剩下一些没有出度的点。这些点当中 必有一个单质数点，贪心连向这个点即可。基于预处理，该贪心过程可以 O(n) 实 现。

对于范围中不存在质数的情况，说明这个区间很小（可以筛一遍看看区间的最大值），直接prim最小生成树即可。

K

交互题。

输入一颗二叉树，你需要找到一个隐藏的点 \(s\)，最多询问 \(\lfloor\log_2n\rfloor\) 次。

每次询问 \(u,v\)，回答为 \(t\)：

• \(t=0:dis(u,s)<dis(v,s)\)
• \(t=1:dis(u,s)=dis(v,s)\)
• \(t=2:dis(u,s)>dis(v,s)\)

节点为 n 的树重心 u 满足：去掉 u 之后，剩下的连通块点 数小于等于 n/2。因为给定的是二叉树，所以我们可以对 u 的 度数进行讨论。

• u 度数为 0：答案就是 u。

• u 度数为 1：说明 n = 2，询问 u 和邻居即可知道答案。

• u 度数为 2：询问 u 的两个邻居，即可把问题规模缩小至 ⌊ n/2 ⌋。

• u 度数为 3：询问三个连通块里较大的两个。最小的那个连 通块加一，一定小于等于 ⌊ n/2 ⌋，可以按 n 的奇偶性讨论来反 证 3 × ⌊ n/2 ⌋ + 1 ≤ n 是不满足的。

因此每次询问可以把问题规模从 n 变成 ⌊ n/2 ⌋，就能在 ⌊log2 n⌋ 次询问内找到答案。

L

把一颗树划分成若干联通块，每个的贡献为次大值，最大化贡献值的和。

注意到一个区域的价值只会收到最大值和次大值的影响，其他点不影响 区域的价值。于是不难猜想一个区域只需要保留最大值和次大值作为端 点的这条路径即可。 现在问题变成了，给出一棵树，把树划分成若干路径，每条路径的价值 等于端点之中较小的一个，所对应的最大价值和。 可以考虑 DP：用 fi,j 表示以 i 为根的子树，其中延申到 i 的链另一个端 点的价值为 j，其他部分的最大价值和。gi 表示以 i 为根的子树，能构成 的最大价值。

用 fi,j 表示以 i 为根的子树，其中延申到 i 的链另一个端点的价值为 j， 其他部分的最大价值和。gi 表示以 i 为根的子树，能构成的最大价值。 转移的时候，依次枚举 i 的每个儿子 son，对 f 有转移

\[f_{i,j}=\max\{f_{i,j}+g_{son},f_{son,j}+\sum_{k\in other\ son}g_k\} \]

对 g 有转移

\[g_i=\max\{g_i,f_{i,j}+f_{son,k}+\min(j,k)\} \]

这两个信息都可以用线段树合并维护，时间复杂度 O(n log n)

其中 g 的维护需要在 merge 的过程中一边维护，推荐找个代码看看。

M

求树上随机两条路径的交的长度的平方和。

组合意义转化为在交上选两条边的方案数和选一条边的方案数，dp 可求。