竞赛图的性质

竞赛图是把一个完全图的边定向后得到的有向图，所以也是一个 $n$ 个点 $\binom{n}{2}$ 条边的无自环重边的有向图。

竞赛图有许多优美的性质和定理，并且多半都和强连通分量有关系。

0x01 兰道定理

对于一个出度序列 $s_{1\ldots n}$，它是合法的（存在一个竞赛图出度满足这个序列），当且仅当：

$$\forall 1\le k\le n,\sum_{i=1}^n s_i\ge \binom{k}{2}$$

且在 $k=n$ 时取等。注意到把以上结论中的出度换成入度也是对的。

必要性比较显然，因为前 $k$ 个点内部的边已经刚好 $\binom{k}{2}$ 条了。

充分性不太会证，好像是可以构造出来的。

0x02 寻找强连通分量

首先我们可以手模一下竞赛图缩点之后的结构，显然入度为 $0$ 和出度为 $0$ 的 scc 都只能有一个，所以这应该是一个链的结构。

可以发现，拓扑序小的 scc 里面的点的出度一定严格大于拓扑序大的 scc 里面的点的出度。

所以所有点按照出度大小从小到大排序之后，这个图的每个 scc 都是序列上的一个区间。

我们可以找到第一个 $k$ 使得 $\sum_{i=1}^ks_i=\binom{k}{2}$，发现这个序列上的前 $k$ 个点就是原图拓扑序最大的 scc。因为首先肯定有 $\sum_{i=1}^ks_i\ge \binom{k}{2}$，如果等于的话说明后面的点与这 $k$ 个点的边都是连向这 $k$ 个点的，这是前 $k$ 个点组成一个强连通分量的必要条件。并且前面不存在取等的地方，说明前面绝对没有强连通分量，所以这 $k$ 个点恰好组成了一个强连通分量。

简单地拓展一下可以发现，找到所有的 $k$ 使得兰道定理的不等式取等，这些 $k$ 就是所有强连通分量的分界点。

0x03 哈密顿通路

一个结论是：任何竞赛图都存在哈密顿通路。

我们可以尝试构造出一组解。

考虑增量构造，从空图开始加点，现在加入点 $x$，设前面的点形成的哈密顿通路的起点为 $S$，终点为 $T$。

• 如果存在 $x\to S$ 或者 $T\to x$ 的边，则直接将 $x$ 在端点处加入通路即可。
• 否则此时一定存在 $S\to x$ 和 $x\to T$，那么这条通路上一定存在两个相邻的点 $u,v$ 使得 $u\to x,x\to v$，在 $u,v$ 之间插入 $x$ 即可。

这样就完成了证明，并且我们找到了一个 $\mathcal{O}(n^2)$ 构造哈密顿通路的算法。

0x04 哈密顿回路

一个结论是：任何强连通的竞赛图都存在哈密顿回路。

我们可以尝试构造一组解。

首先我们先找出一条这个竞赛图的哈密顿通路，不妨认为这个通路是 $1\to 2\to 3\ldots\to n-1\to n$。

因为强连通，所以肯定存在一个点使得 $t\to 1$。我们可以把 $1\to 2\to\ldots \to t\to 1$ 作为初始的回路，然后考虑增量构造。

现在加入点 $x$，且前 $x-1$ 个点已经构造出了一条回路。

• 如果前 $x-1$ 个点中存在一个 $y$ 使得 $x\to y$。注意到 $x-1\to x$ 成立，所以我们一定可以找到回路上相邻的两个点 $u,v$ 使得 $u\to x,x\to v$。把 $x$ 插入到 $u,v$ 间即可。
• 否则前 $x-1$ 个点中的每一个点都连向了 $x$，又因为强连通，后面肯定存在一个 $y$ 连有到前 $x-1$ 个点的反向边，找到这个 $y$，设它的反向边连向了 $t$。设 $t$ 在回路上的前一个点是 $r$，因为有 $r\to x$ 的边，我们可以像 $r\to x\to x+1\ldots\to y\to t$ 这样把 $[x,y]$ 这一段的点都加入回路。

这样就完成了证明，并且我们找到了一个 $\mathcal{O}(n^2)$ 构造哈密顿回路的算法。