[NOI2013] 向量内积
感谢 wzy 提供的思路，这可能是一个比较数学且困难的做法，和其他题解不太一样。
\(k=2\)
考虑把这些向量排成一个 \(n\times d\) 的矩阵 \(A\)，考虑把 \(A\) 和 \(A\) 的转置 \(A^T\) 相乘得到 \(B\)，发现如果有解就是 \(B\) 不是一个全 1 矩阵，且如果 \(B_{i,j}=0\)，答案就是 \(i,j\)。
思考如何 check 一个全 1 矩阵，随机构造一个 \(n\) 行列向量 \(R\)。如果 \(B\) 是一个全 1 矩阵，那么 \(B\times R\) 得到的列向量的每个元素都应该是 \(R\) 中的所有元素和，且如果第 \(i\) 行不满足，那么肯定存在一组 \(i,j\) 是答案。
计算 \(B\times R\) 也很简单，\(B\times R=(A\times(A^T\times R))\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}(nd)\)。
\(k=3\)
因为模 \(3\) 意义下 \(1\) 和 \(2\) 的平方都是 \(1\)，考虑 check 矩阵 \(B\) 的每个值平方后是否是全 1 矩阵，随机生成一个数组 \(r[]\)，我们要 check 的就是对于每个 \(i\)，\(\sum_jB_{i,j}^2r_j\) 是否等于 \(\sum_j r_j\)。
考虑构造出矩乘的形式，\(\sum_jB_{i,j}^2r_j=\sum_{j}B_{i,j}R_{j,j}B^T_{j,i}\)。其中 \(R\) 是一个只有对角线有值的矩阵，且 \(R_{j,j}=r_j\)。现在要 check 的是最终得到的矩阵中对角线的值是否都是 \(\sum_j r_j\)。如果可以得到最终这个矩阵，构造方案的方法与 \(k=2\) 类似。
其中 \(B^T=(A\times A^T)^T=(A^T)^T\times A^T=A\times A^T\)。
因为 \(R\) 只有对角线有值，所以 \(R\times A\) 可以快速处理，中间三项乘出来得时间复杂度是 \(\mathcal{O}(nd^2)\)。因为我们只关心答案矩阵对角线上的值，左右两个矩阵不用暴力乘上去，考虑答案矩阵的 \(Ans_{i,i}\)，这时只用取出第一项的第 \(i\) 行以及最后一项的第 \(i\) 列来乘就好，总的时间复杂度 \(\mathcal{O}(nd^2)\)。
实现
-
一次随机可能不够，要来多几次。
-
因为模数较小，可以 bitset 优化，所以数据范围可以继续开大。
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<ctype.h>
#include<bitset>
#include<random>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=0; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) f|=(ch==45),ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,m,k;
struct matrix{
vector<vector<int> > a;
int n,m;
inline void build(){
a.resize(n+1);
for(int i=1;i<=n;++i) a[i].resize(m+1);
}
matrix operator * (matrix B){
matrix A=*this,C;
C.n=A.n,C.m=B.m;
C.a.resize(C.n+1);
for(int i=1;i<=C.n;++i) C.a[i].resize(C.m+1);
for(int i=1;i<=C.n;++i)
for(int j=1;j<=C.m;++j){
C.a[i][j]=0;
for(int k=1;k<=A.m;++k){
C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];
}
C.a[i][j]%=k;
}
return C;
}
};
namespace sub2{
inline void main(){
mt19937 rnd(114514);
matrix A,B;
A.n=n,A.m=m,A.build();
B.n=m,B.m=n,B.build();
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
B.a[j][i]=A.a[i][j]=read()%k;
}
}
for(int fick=1;fick<=10;++fick){
matrix R;
R.n=n,R.m=1,R.build();
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;++i) R.a[i][1]=(rnd()&1),(sum+=R.a[i][1])%=2;
R=B*R;
R=A*R;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(R.a[i][1]!=sum){
for(int j=1;j<=n;++j){
if(i==j) continue;
int s=0;
for(int k=1;k<=m;++k){
(s+=A.a[i][k]*A.a[j][k])%=2;
}
if(s==0){
printf("%d %d\n",min(i,j),max(i,j));
return;
}
}
}
}
}
puts("-1 -1");
}
}
namespace sub3{
inline void main(){
mt19937 rnd(114514);
matrix A,B,C,D;
A.n=n,A.m=m,A.build();
B.n=m,B.m=n,B.build();
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
B.a[j][i]=A.a[i][j]=read()%k;
}
}
C=A,D=B;
for(int fick=1;fick<=10;++fick){
int sum=0;
matrix R=C;
for(int i=1;i<=n;++i){
int x=rnd()%3;
(sum+=x)%=3;
for(int j=1;j<=m;++j){
(R.a[i][j]*=x)%=3;
}
}
R=B*R;
for(int i=1;i<=n;++i){
int s=0;
for(int j=1;j<=m;++j){
for(int k=1;k<=m;++k){
s+=A.a[i][j]*R.a[j][k]*D.a[k][i];
}
}
if(s%3!=sum){
for(int j=1;j<=n;++j){
if(i==j) continue;
int tmp=0;
for(int k=1;k<=m;++k){
(tmp+=A.a[i][k]*A.a[j][k])%=3;
}
if(tmp==0){
printf("%d %d\n",min(i,j),max(i,j));
return;
}
}
}
}
}
puts("-1 -1");
}
}
int main(){
n=read(),m=read(),k=read();
if(k==2) sub2::main();
else sub3::main();
return 0;
}
