[WC2019] 数树
综合性非常强的一道题。。。
给定两棵树
发现题目其实是 \(y\) 的两颗树的边集交集形成的森林的连通块数次方，map 搞一搞就行。
给定一棵树
考虑枚举两个边集的交集，根据森林的连通块数可表达为点减边，可知答案为 \(\sum_{i=0}^{n-1}g_iy^{n-i}\)，其中 \(g_i\) 表示交集边数为 \(i\) 的第二棵树树的数量，发现 \(g_i\) 不好直接计算，是因为我们无法保证这 \(i\) 条边之外的边不在交集中，所以我们只能算出至少，再通过别的方法得到恰好。这里有两种解决方法：
第一种：考虑 \(f_i\) 表示钦定 \(i\) 条边属于交集之后第二棵树的数量，显然有:
\[f_i=\sum_{j=i}^{n-1}\binom{j}{i}g_j
\]
根据二项式反演得：
\[g_i=\sum_{j=i}^{n-1}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j
\]
那么答案就是：
\[\begin{aligned}
Ans&=\sum_{i=0}^{n-1}y^{n-i}\sum_{j=i}^{n-1}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j\\
&=y^n\sum_{j=0}^{n-1}f_j\sum_{i=0}^j\binom{j}{i}(-1)^{j-i}(y^{-1})^i\\
&=y^n\sum_{j=0}^{n-1}f_j(y^{-1}-1)^j
\end{aligned}
\]
第二种：上面的式子无法使用普通的容斥，是因为有一个 \(y^{n-i}\) 在。我们首先简单化一化式子：
\[\sum_{i=0}^{n-1}g_iy^{n-i}=y^n\sum_{i=0}^{n-1}g_i(y^{-1})^i
\]
考虑 \((y^{-1})^i=\sum\binom{i}{j}(y^{-1}-1)^j\)，我们直接去算至少，一个钦定了 \(j\) 条边的方案我们让它算 \((y^{-1}-1)^j\) 的贡献，最后再乘回 \(y^n\) 就是正确答案了。
\[Ans=y^n\sum_{j=0}^{n-1}f_j(y^{-1}-1)^j
\]
其实两种方法最后的式子都是一样的。
考虑计算 \(f_i\)，对于一种选边的方案，最后可生成的树的数量可以由 prufer 序列得到，即 \(n^{n-i-2}\prod sze_j=n^{n-2}\cdot n^{-i}\prod sze_i\)，其实现在已经可以树形 DP 了，我们只需要对于选边的方案进行 DP，每选一条边额外乘上 \(n^{-1}(y^{-1}-1)\) 就可以了。对于 \(\prod sze_j\)，朴素的想法是记一下现在点所在的连通块大小，但是 \(\prod sze_j\) 相当于在每个连通块选一个点的方案，所以我们只需用记 \(f_{u,0/1}\) 表示做到 \(u\)，目前连通块是否选了的答案，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。
不给定树
首先还是枚举交集，然后像上面那样处理成至少，答案就是：
\[Ans=y^n\sum_{j=0}^{n-1}f_j(y^{-1}-1)^j
\]
注意：这里 \(f_i\) 的定义变成了钦定 \(i\) 条边后，两棵树的方案数。
这里没有树形态的限制，考虑直接写出 \(f_i\) 的通项：
\[f_s=\sum_{\sum a_i=n}\frac{n!}{(n-s)!}\prod_{i=1}^{n-s}\frac{a_i^{a_i-2}}{a_i!}(n^{n-s-2}\prod_{i=1}^{n-s} a_i)^2
\]
解释一下，一开始先枚举每个连通块大小，\(n!\) 把点放进去，但是连通块之间无序，所以除以 \((n-s)!\)，\(a_i^{a_i-2}\) 是连通块内树的方案，同时连通块内点无序，除以 \(a_i!\)，最后是剩下的生成两棵树的方案。
我们把这个带回去，设 \(C=(y^{-1}-1)\)：
\[\begin{aligned}
Ans&=y^n\sum_{s=0}^{n-1}C^s\sum_{\sum a_i=n}\frac{n!}{(n-s)!}\prod_{i=1}^{n-s}\frac{a_i^{a_i-2}}{a_i!}(n^{n-s-2}\prod_{i=1}^{n-s} a_i)^2\\
&=\frac{y^nn!}{n^4}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{C^sn^{2n-2s}}{(n-s)!}\sum_{\sum a_i=n}\frac{a_i^{a_i}}{a_i!}\\
&=\frac{y^nn!}{n^4}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{C^{n-s}n^{2s}}{s!}\sum_{\sum a_i=n}\frac{a_i^{a_i}}{a_i!}\\
\end{aligned}
\]
既然有 \(\sum a_i=n\)，不妨把后面的东西写成卷积的形式。
\[\begin{aligned}
Ans&=\frac{y^nn!}{n^4}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{C^{n-s}n^{2s}}{s!}[x^n](\sum_{j\ge1}\frac{j^j}{j!}x^j)^s\\
&=\frac{y^nn!C^n}{n^4}[x^n]\sum_{s=0}^{n-1}\frac{(\sum_{j\ge1}\frac{n^2j^j}{Cj!}x^j)^s}{s!}\\
&=\frac{y^nn!C^n}{n^4}[x^n]e^{\sum_{j\ge1}\frac{n^2j^j}{Cj!}x^j}
\end{aligned}
\]
所以只需要做一遍多项式 EXP 就可以解决此题啦。
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<ctype.h>
#include<map>
#include<vector>
#define N 100005
#define M 530000
#define mo 998244353
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=0; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) f|=(ch==45),ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
inline int qpow(int x,int b){
int res=1;
for(;b;x=x*x%mo,b>>=1) if(b&1) res=res*x%mo;
return res;
}
int n,y,op;
namespace sub0{
int fa[N];
map<pair<int,int>,int> MP;
int find(int x){
return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}
inline void merge(int x,int y){
x=find(x),y=find(y);
if(x==y) return;
fa[x]=y;
}
void main(){
for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
for(int i=1;i<n;++i){
int x=read(),y=read();
if(x>y) swap(x,y);
MP[{x,y}]++;
}
for(int i=1;i<n;++i){
int x=read(),y=read();
if(x>y) swap(x,y);
if(MP[{x,y}]) merge(x,y);
}
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(i==find(i)) ans=ans*y%mo;
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
namespace sub1{
int f[N][2],C;
vector<int> G[N];
void dfs(int u,int fa){
f[u][0]=f[u][1]=1;
for(int v:G[u]){
if(v==fa) continue;
dfs(v,u);
int tmp0=f[u][0],tmp1=f[u][1];
f[u][0]=(f[v][1]*tmp0%mo+tmp0*f[v][0]%mo*C%mo)%mo;
f[u][1]=(f[v][1]*tmp1%mo+tmp0*f[v][1]%mo*C%mo+tmp1*f[v][0]%mo*C%mo)%mo;
}
}
void main(){
for(int i=1;i<n;++i){
int x=read(),y=read();
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}
C=(qpow(y,mo-2)-1)*qpow(n,mo-2)%mo;
dfs(1,0);
printf("%lld",f[1][1]*qpow(y,n)%mo*qpow(n,n-2)%mo);
}
}
namespace sub2{
inline void clear(int *A,int x,int y){for(int i=x;i<y;++i) A[i]=0;}
inline void copy(int *A,int *B,int x,int y){for(int i=x;i<y;++i) A[i]=B[i];}
inline void mul(int *A,int *B,int x,int y){for(int i=x;i<y;++i) A[i]=A[i]*B[i]%mo;}
int cir[M],rt;
inline void NTT(int *f,int len,int tag){
if(len!=rt) for(int i=0;i<len;++i) cir[i]=(cir[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);
rt=len;
for(int i=0;i<len;++i) if(i<cir[i]) swap(f[i],f[cir[i]]);
for(int l=2;l<=len;l<<=1){
int sze=l>>1,buf=qpow(tag?3:332748118,(mo-1)/l);
for(int i=0;i<len;i+=l){
int bas=1;
for(int j=i;j<i+sze;++j,bas=bas*buf%mo){
int tmp=bas*f[j+sze]%mo;
f[j+sze]=(f[j]-tmp+mo)%mo,(f[j]+=tmp)%=mo;
}
}
}
if(tag==1) return;
int invn=qpow(len,mo-2);
for(int i=0;i<len;++i) f[i]=f[i]*invn%mo;
}
int tmul[M];
inline void polyMul(int *A,int *B,int len1,int len2){
#define sav tmul
int len=1;
while(len<(len1<<1)) len<<=1;
copy(sav,B,0,len);
NTT(A,len,1),NTT(sav,len,1),mul(A,sav,0,len),NTT(A,len,0);
clear(A,len2,len),clear(sav,0,len);
#undef sav
}
int inv1[M],inv2[M],inv3[M];
inline void polyInv(int *A,int len){
#define sav1 inv1
#define sav2 inv2
#define sav3 inv3
int lim=1;while(lim<len) lim<<=1;
sav1[0]=qpow(A[0],mo-2);
for(int l=2;l<=lim;l<<=1){
int r=l<<1;copy(sav3,A,0,l);
for(int i=0;i<(l>>1);++i) sav2[i]=(sav1[i]<<1)%mo;
NTT(sav1,r,1),mul(sav1,sav1,0,r);
NTT(sav3,r,1),mul(sav1,sav3,0,r);
NTT(sav1,r,0),clear(sav1,l,r);
for(int i=0;i<l;++i) sav1[i]=(sav2[i]-sav1[i]+mo)%mo;
}
copy(A,sav1,0,len);
clear(sav1,0,lim<<1),clear(sav2,0,lim<<1),clear(sav3,0,lim<<1);
#undef sav1
#undef sav2
#undef sav3
}
inline void polyDer(int *A,int len){
for(int i=1;i<len;++i) A[i-1]=A[i]*i%mo;A[len-1]=0;
}
inline void polyInt(int *A,int len){
for(int i=len-1;i>=1;--i) A[i]=A[i-1]*qpow(i,mo-2)%mo;A[0]=0;
}
int ln1[M];
inline void polyLn(int *A,int len){
#define sav ln1
copy(sav,A,0,len),polyDer(A,len),polyInv(sav,len);
polyMul(A,sav,len,len),polyInt(A,len),clear(sav,0,len);
#undef sav
}
int exp1[M],exp2[M];
inline void polyExp(int *A,int len){
#define sav1 exp1
#define sav2 exp2
int lim=1;while(lim<len) lim<<=1;
sav1[0]=1;
for(int l=2;l<=lim;l<<=1){
copy(sav2,sav1,0,l>>1),polyLn(sav2,l);
for(int i=0;i<l;++i) sav2[i]=(A[i]-sav2[i]+mo)%mo;
sav2[0]=(sav2[0]+1)%mo;
polyMul(sav1,sav2,l,l);
}
copy(A,sav1,0,len),clear(sav1,0,lim),clear(sav2,0,lim);
#undef sav1
#undef sav2
}
int fac[N],ifac[N],F[M];
void main(){
if(y==1) return (void)(printf("%lld",qpow(n,2*(n-2))));
int ny=qpow(y,mo-2)-1,iny=qpow(ny,mo-2);
fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
ifac[n]=qpow(fac[n],mo-2);
for(int i=n;i>=1;--i) ifac[i-1]=ifac[i]*i%mo;
for(int i=1;i<=n;++i) F[i]=n*n%mo*iny%mo*qpow(i,i)%mo*ifac[i]%mo;
polyExp(F,n+1);
printf("%lld\n",fac[n]*qpow(ny,n)%mo*qpow(n,mo-5)%mo*F[n]%mo*qpow(y,n)%mo);
}
}
signed main(){
n=read(),y=read(),op=read();
if(op==0) sub0::main();
if(op==1) sub1::main();
if(op==2) sub2::main();
return 0;
}
