[HAOI2008]圆上的整点

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神仙题

神仙视频

求满足\(x^2+y^2=R^2(x,y\in\mathbb{Z})\)的数对$(x,y)个数

高斯整数：是个复数，形如\(a+bi\)，其中\(a,b\)均为整数
高斯质数是高斯整数，不能分成高斯整数的乘积

那就是在求模长为\(R^2\)的高斯整数个数

显然高斯整数模长可以表示成\((a+bi)(a-bi)\)，即一对共轭复数的积

考虑\(R^2=(a+bi)(a-bi)\)的方案数，令\(N=R^2\)（事实上N不是完全平方数这题也能做）

先将N分解成若干个质数之积

随意假设\(N=3^2*5^2\)

还要继续分下去，分成若干个高斯质数

然后这里用到一个结论：形如\(4n+1\)的质数能分成两个高斯质数的乘积，形如\(4n+3\)的不行（视频里也没有说为啥）

所以上面的n可以分成\(3^2*(2+i)(2-i)(2+i)(2-i)\)

要把这些分成两组，每组都在另一边有它的共轭复数对应

\(3^2\)只能一边放一个\((2+i)^2(2-i)^2\)有3种方法（左边放0,1,2个\((2+i)\)）

于是就有3种分法，乘4以后\(N=225\)的答案就是12

继续看几个例子：

• \(N=3^3*5^2\)时，两边的3无论如何也不能平衡，答案是0
• \(N=3^2*5^3\)时，左边可以放0,1,2,3个\((2+i)\)，答案是4（*4=16）
• \(N=3^2*5^3*13^4\)时，左边可以放0,1,2,3个(2+i)和0,1,2,3,4个(3+2i)，答案就是20（×4=80）

可以发现这样的规律：

将N分解质因数
ans=1
for i in 所有质因数
    if i形如4n+1:
        if i的次数为奇数:
            ans=0 # 无法安排这个质因数使得两边是共轭复数
        else:pass # 什么也没有发生，这个质因数只有一种放法，就是两边放同样多个
    else:ans*= i的次数+1 # i=(a+bi)(a-bi),左边可以放0~次数个(a+bi)

然后就结束了。

吗？

如果有质因数是2咋搞啊。。。

事实上不需要搞这个，因为2可以分成\((1+i)(1-i)\),只能是一个在左一个在右，然而交换这两个数实际上是一边\(*\frac{1+i}{1-i}=i\)另一边\(/\frac{1+i}{1-i}=i\)，实际上和最后的答案×4是一样的操作，所以质因数2对答案并没有影响

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
typedef long long ll;
il int gi(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int main(){
    int n=gi();
    long long ans=1;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
        if(n%i==0){
            int p=0;while(n%i==0)n/=i,++p;
            if(i%4==1)ans*=2*p+1;
        }
    if(n>1){
        if(n%4==1)ans*=3;
    }
    printf("%lld\n",ans*4);
    return 0;
}

还有，实际上是不会有0出现的，因为输入的是个整数，平方之后所以质因子次数都是偶数