扩展gcd算法

扩展gcd算法

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神tm ×度搜索exgcd 打到exg的时候出来ex咖喱棒。。。

球方程\(ax+by=\gcd(a,b)\)的一个解

如果\(b=0\)，那么\(\gcd(a,b)=a\)，取\(x=1,y=0\)即可

否则：显然\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)

那么可以递归球解\(bx+(a\mod b)y=\gcd(a,b)\)的解。

然后还是要推当前\(x,y\)的。

设\(bx+(a\mod b)y=\gcd(a,b)\)的解为\(x_0,y_0\)，
\(ax+by=\gcd(a,b)=bx_0+(a\mod b)y_0\)
\(=bx_0+ay_0-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_0\)
\(=ay_0+b(x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_0)\)

那么\(x=y_0,y=x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_0\)

核心代码：exgcd(a,b,&x,&y)返回\(\gcd(a,b)\)

il ll exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
	ll ret;
	if(b==0)x=1,y=0,ret=a;
	else{
		ret=exgcd(b,a%b,x,y);
		ll x0=x,y0=y;
		x=y0,y=x0-a/b*y0;
	}
	return ret;
}

一点点扩展：球\(ax+by=c\)的整数解。

首先求解\(ax+by=\gcd(a,b)\)，然后如果\(c\)是\(\gcd(a,b)\)的倍数就有解（等式两边同时乘即可）否则无解（显然）

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例题：poj1061 蛤蛤青蛙的约会

设这两只蛤蛤跳\(t\)单位时间后跳到一起，相差\(p\)圈。列方程：

\[(X+tN)-(Y+tM)=Lp \]

化简：

\[(N-M)t+Lp=X-Y \]

然后就转化成了球解\(ax+by=c\)。