多项式总结&多项式板子

多项式总结&多项式板子

三角/反三角是不可能放的（也不可能真香的

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多项式乘法（DFT,FFT,NTT,MTT）

背板子

前置知识：泰勒展开

如果\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\(n\)阶导，那么

\[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^i(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \]

称作\(f(x)\)在\(x_0\)处的泰勒展开。

前置知识：牛顿迭代

有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\)，你需要求\(B(x)\)满足\(A(B(x))\equiv 0(\mod x^n)\)

如果\(n=1\)就只有常数项，直接计算就行了

否则令\(m=\lceil\frac n2\rceil\)，递归地求\(B_m(x)\)。（\(B_m(x)=B(x)\mod x^m\)）

然后根据\(B_m\)和\(A\)推出\(B_n\)。

\(A(B_n(x))\)在\(B_m(x)\)处泰勒展开，\(A(B_n(x))=A(B_m(x))+A'(B_m(x))(B_n(x)-B_m(x))\)

（然后后面的因为\((B_n(x)-B_m(x))\)是\(x^m\)的倍数，而结果要\(\mod x^n\)所以都没了）

左边为0，化简得到了\(B_n(x)=B_m(x)-\frac{A(B_m(x))}{A'(B_m(x))}\)

如果推的过程是\(O(n\log n)\)，那么总复杂度是\(T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n)\)很小但常数就不一定了

多项式求导/积分

只需要知道\((x^n)'=nx^{n-1}\)，\(\int(x^n)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)就行了

多项式求逆

有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\)，你要求\(B(x)\)满足\(A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^n)\)

用牛顿迭代做。

\(A(x)B(x)=1\)，设\(F(B(x))=A(x)B(x)-1\)，那么要求\(F(B(x))=0\)。

带入上面的式子，\(B_n(x)=B_m-\frac{AB_m-1}{A}\)

注意\(B\)是\(A\)的逆，所以化简\(B_n(x)=2B_m(x)-AB_m^2(x)\)

多项式开根

有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\)，你要求\(B(x)\)满足\(B(x)^2\equiv A(x)(\mod x^n)\)

同上，构造\(F(B(x))=B(x)^2-A(x)=0\)。

代入，\(B_n(x)=B_m(x)-\frac{B_m(x)^2-A(x)}{2B_m(x)}\)

化简，\(B_n(x)=\frac 12(B_m(x)+\frac{A(x)}{B_m(x)})\)

多项式\(\ln\)

不用牛顿迭代

有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\)，你要求\(B(x)\)满足\(B(x)=\ln A(x)(\mod x^n)\)

注意多项式函数必须要满足常数项在膜意义下可以做，比如\(\ln\)保证常数项为\(1\)

\(B(x)=\ln A(x)\)

\(B'(x)=(\ln A(x))'=\frac{A'(x)}{A(x)}\)

\(B(x)=\int \frac{A'(x)}{A(x)}\)

多项式\(\exp\)

这个常数略大，可能被分治\(NTT\)吊打。

有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\)，你要求\(B(x)\)满足\(A(x)=\ln B(x)(\mod x^n)\)

牛顿迭代，\(F(B(x))=\ln B(x)-A(x)=0\)

化简，\(B_n(x)=B_m(x)(1-\ln(B_m(x))+A(x))\)

多项式快速幂

先求\(\ln\)，然后乘\(k\)，再\(\exp\)回去。

虽然是\(O(n\log n)\)但是常数不知道几个\(\log\)了

开根忘了求可以用常数巨大的\(\exp\)

多项式带余除法（取膜）

\(F(x)=G(x)Q(x)+R(x)\)，已知\(F,G\)分别是次数为\(n-1,m-1(n>m)\)的多项式，\(Q\)是次数为\(n-m\)的多项式，\(R\)次数小于\(m-1\)。求\(Q,R\)

因为结论很好记就直接记结论了。

\(Q^R=F^R{G^R}^{-1}\mod x^{n-m}\)

\(R=F-GQ\)

就做完了。

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板子，vector写的，没卡常警告

//================多项式板子部分===================
#define mod 998244353
#define maxn 262147
#define Gmod 3
#define poly std::vector<int>
il int pow(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int rev[maxn],_lstN,P[maxn],iP[maxn];
il vd ntt(int*A,int N,int t){
    for(int i=0;i<N;++i)if(rev[i]>i)std::swap(A[i],A[rev[i]]);
    for(int o=1;o<N;o<<=1){
        int W=t?P[o]:iP[o];
        for(int*p=A;p!=A+N;p+=o<<1)
            for(int i=0,w=1;i<o;++i,w=1ll*w*W%mod){
                int t=1ll*w*p[i+o]%mod;
                p[i+o]=(p[i]-t+mod)%mod;p[i]=(p[i]+t)%mod;
            }
    }
    if(!t){
        int inv=pow(N,mod-2);
        for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*inv%mod;
    }
}
int N,lg;
il vd setN(int n){
    N=1,lg=0;
    while(N<n)N<<=1,++lg;
    if(N!=_lstN)for(int i=0;i<N;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-1);
}
il vd ntt(poly&a,int t){
    static int A[maxn];
    for(int i=0;i<a.size();++i)A[i]=a[i];memset(A+a.size(),0,4*(N-a.size()));
    ntt(A,N,t);
    a.resize(N);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=A[i];
    int s=a.size();while(s&&!a[s-1])--s;
    a.resize(s);
}
il poly mul(poly a,poly b,int newn=-1){
    if(newn==-1)newn=a.size()+b.size()-1;
    setN(a.size()+b.size()-1);
    ntt(a,1),ntt(b,1);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,0);a.resize(newn);
    return a;
}
il poly operator+(poly a,const poly&b){
    if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());
    for(int i=0;i<a.size();++i)if(i<b.size())a[i]=(a[i]+b[i])%mod;
    return a;
}
il poly operator-(poly a,const poly&b){
    if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());
    for(int i=0;i<a.size();++i)if(i<b.size())a[i]=(a[i]-b[i]+mod)%mod;
    return a;
}
il poly operator*(poly a,int b){
    for(auto&i:a)i=1ll*i*b%mod;
    return a;
}
il poly qiudao(poly a){
    for(int i=0;i<a.size()-1;++i)a[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
    a.erase(a.end()-1);
    return a;
}
il poly jifen(poly a){
    a.insert(a.begin(),0);
    for(int i=1;i<a.size();++i)a[i]=1ll*a[i]*pow(i,mod-2)%mod;
    return a;
}
il poly getinv(poly a){
    if(a.size()==1)return poly(1,pow(a[0],mod-2));
    int n=a.size(),m=a.size()+1>>1;
    poly _a(m);
    for(int i=0;i<m;++i)_a[i]=a[i];
    poly b=getinv(_a);
    setN(n+m*2-2);
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod*b[i]%mod;
    ntt(a,0),ntt(b,0);
    a.resize(n);
    return b*2-a;
}
il poly getln(poly a,int n=-1){
    if(n==-1)n=a.size();
    a.resize(n);
    return jifen(mul(qiudao(a),getinv(a),n));
}
il poly getexp(poly a){
    if(a.size()==1)return a[0]=1,a;
    int n=a.size(),m=a.size()+1>>1;
    poly _a(m);
    for(int i=0;i<m;++i)_a[i]=a[i];
    poly b=getexp(_a);
    return mul(b,poly(1,1)-getln(b,a.size())+a,a.size());
}
il poly operator^(poly a,int b){
    int n=a.size();
    a=getexp(getln(a)*b);a.resize(n);
    return a;
}
il poly operator%(poly a,poly b){
    int n=a.size(),m=b.size();
    if(n<m)return a;
    std::reverse(a.begin(),a.end());
    std::reverse(b.begin(),b.end());
    b.resize(n);
    poly c=mul(a,getinv(b),n-m+1);
    std::reverse(a.begin(),a.end());
    b.resize(m);std::reverse(b.begin(),b.end());
    std::reverse(c.begin(),c.end());
    a=a-mul(b,c);
    int s=a.size();while(s&&!a[s-1])--s;
    a.resize(s);
    return a;
}
il poly sqrt(poly a){
    if(a.size()==1)return a;
    int n=a.size(),m=a.size()+1>>1;
    poly _a(m);
    for(int i=0;i<m;++i)_a[i]=a[i];
    poly b=sqrt(_a);b.resize(n);
    return (b+mul(a,getinv(b),n))*(mod+1>>1);
}
il vd poly_init(){
    int G=Gmod,iG=pow(G,mod-2);
    for(int i=1;i<maxn;i<<=1)P[i]=pow(G,(mod-1)/(i<<1)),iP[i]=pow(iG,(mod-1)/(i<<1));
}
struct _poly_auto_init{_poly_auto_init(){poly_init();}}_auto_init;
//End==============多项式板子部分===================