线性常系数齐次递推 - 论如何快速记公式

线性常系数齐次递推 - 论如何快速记公式

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死记硬背×1

https://www.luogu.org/blog/ShadowassIIXVIIIIV/solution-p4723

给定\(k,m\)，有序列\(f\)和\(g\)，满足\(f(n)=\sum_{i=0}^{m-1}f(n-i-1)g(i)\)。

再给定\(f(0),f(1),\cdots,f(m-1)\)，求\(f(k)\)。

\(k\leq 10^{18},m\leq 20000\)

设转移矩阵为\(A\)，构造\(c\)使得\(A^k=\sum_{i=0}^{m-1}c(i)A^i\)

那么\(f(k)=\sum_{i=0}^{m-1}c(i)f(i)\)。

\(c\)的构造：\(c=A^n\mod G(A)\)。注意现在多项式的\(x\)是\(A\)，所以多项式\(A=x\)

\(G\)直接记结论：\(G=-g^R+x^m\)