[JLOI2015]骗我呢
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TAG：数学，DP
题意
骗你呢
求满足以下条件的\(n*m\)的矩阵的个数对\(10^9+7\)取模
对于矩阵中的第\(i\)行第\(j\)列的元素\(x_{i,j}\)都有
- \(x_{i,j}<x_{i,j+1}\)
- \(x_{i,j}<x_{i-1,j+1}\)
- \(0\le x_{i,j}\le m\)
题解
Part 0 前言
不会做啊！（杠了四五个小时！）
谢两位dalao：blog1、blog2
以下图片均来自于此篇文章：http://www.cnblogs.com/coco-night/p/9552677.html，如有冒犯请与我联系，谢谢！
Part 1 朴素DP
首先发现一个很好的性质：
每行是递增的并且一行\(m\)个元素，取值只能在\([0,m]\)中选
那么必然该行至多有一个位置与后一个位置相差2，其余的都只相差1
由此可以列出一个简单的\(DP\)：
\(dp[i][j]\)表示第\(i\)行没有出现过的数是\(j\)的方案数
\(dp[i][j]=\sum_{k=0}^{j+1}dp[i-1][k]\)
至于上界为什么是\(j+1\)可以手动模拟一下，假设这行\(j\)没有出现过，上一行试一试\(j-1\)、\(j\)、\(j+1\)、\(j+2\)，发现大于\(j+1\)的就不合法了
略微优化一下就变成了\(dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1]\)
Part 2 转化为图形
发现这个\(DP\)像极了组合数公式，把它套用在坐标系里就是这个样子
自上而下第\(i\)行，从左往右第\(j\)列的点就表示\(dp[i][j]\)，其指向的点就表示可以转移
这样仍然不太好处理，我们继续转化：
还是不好看，给它对称一下：
Part 3 挖掘组合意义
这么一看，不就是从原点出发，只能向右或向上走，不接触直线A,B，到达点(n+m+1,n)的路径条数吗！
直线\(A:y=x+1\)，直线\(B:y=x-(m+2)\)
Part 4 计算
这种格路数计算（如两双手）都可以考虑采用容斥计数
不考虑其他限制，原点到\(x,y\)的方案数是\(C_{x+y}^x\)
考虑不合法方案是什么：如依次经过\(AABBAAAABB\)
把它缩一下：\(ABAB\)
可以发现不合法方案要么以\(A\)开头要么以\(B\)开头
表示为首次跨越的直线是\(A\)还是\(B\)
所以：答案=总方案数 - A开头的方案数 - B开头的方案数
\(x=n+m+1,y=n\)，把\((x,y)\)沿\(A\)对称得到\((x',y')=(y-1,x+1)\)
每条从\((0,0)\)到\((x',y')\)的路径都依次对应一条以A结尾或者以AB结尾的路径！
如图：（这个图是我自己画的！）
上面是一条以\(A\)结尾的路径
上面是一条以\(AB\)结尾的路径
所以，总共的不合法方案是
- A
- B
- AB
- BA
- ABA
- BAB
- ABAB
- BABA
- ...
为了减去以\(A\)开头的方案，需要减去以A,AB结尾的方案，加上以BA,BAB结尾的方案，减去....
那么实现方式是：把(x,y)沿A翻折，减去答案；将翻折过的点沿B翻着，加上答案；再沿A翻折...
同理计算以\(B\)开头的方案，就是先沿\(B\)折就好了
具体细节的话沿着\(A\)折是\((x,y)->(y-1,x+1)\)，沿着\(B\)折是\((x,y)->(y+(m+2),x-(m+2))\)
复杂度是O(n)的，复杂度瓶颈为预处理阶乘，至于计算每次是像跳棋一样，复杂度为\(O(logn)\)
完美解决本题！
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int P=1e9+7,N=3e6+10;
int n,m,up,inv[N],jc[N],inj[N];
int Calc(int x,int y) {return (x<0||y<0)?0:1ll*jc[x+y]*inj[x]%P*inj[y]%P;}
void flip1(int &x,int &y) {swap(x,y);x--;y++;}
void flip2(int &x,int &y) {swap(x,y);x+=m+2;y-=m+2;}
void add(int &x,int y) {x+=y;if(x>=P) x-=P;}
int main()
{
cin>>n>>m;inv[0]=inv[1]=jc[0]=inj[0]=1;up=max(n,m)*3+1;
for(int i=2;i<=up;i++) inv[i]=(P-1ll*P/i*inv[P%i]%P)%P;
for(int i=1;i<=up;i++) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%P,inj[i]=1ll*inj[i-1]*inv[i]%P;
int x=n+m+1,y=n,ans=Calc(x,y);
while(x>=0&&y>=0)
{
flip1(x,y);add(ans,P-Calc(x,y));
flip2(x,y);add(ans,Calc(x,y));
}
x=n+m+1,y=n;
while(x>=0&&y>=0)
{
flip2(x,y);add(ans,P-Calc(x,y));
flip1(x,y);add(ans,Calc(x,y));
}
return cout<<ans<<endl,0;
}
