博弈学习笔记
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前言
本博文分三部分，第一部分简单介绍SG函数，第二部分简单介绍博主所理解的一些博弈模型，第三部分推荐题目以及分享做题心得，本文基本不适合初学者食用，初学者请移步下方链接
论文：2009贾志豪（百度文库可搜）
自为风月马前卒的总结
自为风月马前卒的题目
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Part1 SG函数
优势：可以实现对多个游戏进行加和
计算方式：\(SG(x)=mex(SG(y))\)，其中\(mex\)指集合中最小没有出现过的自然数，\(y\)为\(x\)的后继状态
游戏加和：\(SG=SG(x_1) \bigoplus SG(x_2) \bigoplus ...\bigoplus SG(x_n)\)
意义：\(SG=0\)表示先手必败，为P状态，否则为N状态，先手必胜
理解：化为\(Nim\)游戏，对于每个\(SG\)不为\(0\)的状态总有一种方案使得\(SG\)成为\(0\)
Part2 平等博弈模型
1.巴什博弈（Bash Game）
问题：只有一堆\(n\)个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取\(m\)个。最后取光者得胜
结论：\(n\%(m+1)\)为\(0\)先手必败否则必胜
2.威佐夫博弈（Wythoff Game）
问题：有两堆各若干个物品，两个人轮流同时从一到两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，最后取光者得胜
结论：
先手必败态的两堆石子之差依次递增，且每个自然数仅出现一次，先手必败态为\((0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)...\)
如果必败态为\((a,b)\)，\(k=(a-b)\)，则\(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}*k\)
3.尼姆博弈（Nim Game）
问题：\(n\)堆石子两人轮流在任意一堆中取任意石子，不能不取，最多取完，取到最后一颗石子者胜
结论：\(n\)堆石子数量异或和为\(0\)则先手必败否则必胜
Nim游戏代表了所有平等博弈问题！！
4.Nim 游戏扩展
问题：每次最多丢\(k\)个石子，其余规则同\(Nim\)
结论：每堆石子数量\(\%(k+1)\)后再求异或和
5.Nim k 博弈
问题：一次最多在\(k\)堆中取，其余规则同\(Nim\)
结论：把石子数二进制拆开，每位求和后\(\%(k+1)\)，若最后每位都为\(0\)则先手必败，否则先手必胜
6.阶梯博弈
问题：有\(n\)堆石子放在\(n\)层阶梯上，两人轮流选择一层的若干石子，放入下一层（特别地，选择\(1\)层的石子就被扔掉），无法操作者输
结论：奇数层石子的数量异或和为\(0\)则先手必败否则必胜
7.Anti-SG（反Nim游戏）
问题：取走最后一颗石子者败，其余规则同\(Nim\)
结论：
当且仅当以下情况先手必胜
1.整个游戏\(SG=0\)并且没有单一游戏\(SG>1\)
2.整个游戏\(SG>0\)并且至少一个单一游戏\(SG>1\)
方便记忆的话就是：如果每一堆都是一颗石子也就是所有单一游戏的\(SG\)值为\(1\)时，有偶数个单一游戏（即整个游戏\(SG=0\)）则先手必胜，否则至少有一堆石子大于\(1\)个，整个游戏的\(SG\)值不为\(0\)
8.Multi-SG
问题：在Nim游戏的基础上，操作可以是取石子也可以是把一堆石子分成非空的两堆，无法操作者输
结论：\(SG\)函数解决，所有后继状态的\(mex\)
9.Every-SG
问题：玩家对于所有没有结束的单一游戏同时操作，结束最后一个单一游戏的玩家获胜
结论：对于任意一个玩家，对于必胜的单一游戏肯定要尽可能延长时间（延长到最后自己就赢了），对于必败的单一游戏肯定要尽可能缩短时间，所以必胜单一游戏对后继状态的步数取\(max\)，必败单一游戏对后继状态步数取\(min\)，整盘游戏是否获胜只与最长步数的单一游戏的步数的奇偶性有关
例题：HDU3595
10.翻硬币游戏
问题：正反硬币排成一排，每次可以翻转一段区间，要求左端点必须由反面翻成正面，不能操作者输，求是否先手必胜
结论：每个位置上的硬币独立，分别算\(SG\)后异或起来
11.树上删边游戏
问题：一个有根树，一次操作是选择一条边，删除此边以及删掉边后和根不连通的部分，不能操作者输
结论：
\(SG(x)=mex(S)+1\)，\(S\)表示为\(x\)的子树内所有点的\(SG\)值的集合
或者是\(SG(x)=\sum_{xor}(SG(son)+1)\)，等价为链再化为\(Nim\)游戏即可证明
12.无向图删边游戏
问题：
结论：
13.动态减法问题
问题：有一个整数\(N\)，双方轮流减去一个正整数值，第一次不能减完，之后每次减的数不超过\(f(x)\)，\(x\)表示为上一次减的值（保证\(f(x)\)单调不降）
结论：
\(H_i\)表示第\(i\)个先手必败的状态，找到最小的\(x\)使得\(f(H_x)\ge H_i\)，则\(H_{i+1}=H_i+H_x\)
通过这个结论可以快速解决\(f(x)=x\)必败状态是\(2^k\)，\(f(x)=2x\)必败状态是斐波那契数列
14.匹配的应用
问题：无向图中棋子在\(s\)，双方轮流操作，选一条边走出去并且把之前的结点删去，不能行动者输
结论：先手必胜要求\(s\)在图中的任意最大匹配中
Part3 做题心得
1.一排石子两头取的问题
描述1
CodeForces 794E Choosing Carrot
一行数依次选择左边或右边的数丢掉，先手想要留下的数最大，后手反之，求最终留下的数
结论1
如果为偶数，留下的是正中间两个数的\(max\)
如果是奇数（\(>1\)），假设正中间三个数为\(A,B,C\)，则留下的为\(min(B,max(A,C))\)
附录：题单
论文：2009贾志豪
自为风月马前卒总结：http://www.cnblogs.com/zwfymqz/tag/博弈论/
自为风月马前卒题目：http://www.cnblogs.com/zwfymqz/category/1019908.html
