中国剩余定理学习笔记

中国剩余定理（CRT）

Tags：数学

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一、对于一系列同余方程的求解

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \quad(mod \quad p_1) \\ x\equiv a_2 \quad (mod \quad p_2)\\...\\x\equiv a_n \quad (mod \quad p_n) \end{cases} \]

先考虑两项的情况$$\begin{cases} x\equiv a_1 \quad(mod \quad p_1) \ x\equiv a_2 \quad (mod \quad p_2)\end{cases}$$先假设\(gcd(p_1,p_2)=1\)
令\(x_0\)为其一解，则有$$x_0=a_1+k_1p_1=a_2+k_2p_2$$那么会有方程\(p_1*k_1-p_2*k_2=a_2-a_1\)
运用扩展欧几里得求得一解\((k_1',k_2')\)
则可以得\(x_0\)以及\(k_1=k_1'+p_2*t\)
\(x=a_1+k_1*p_1=a_1+k_1'*p_1+t*p_1*p_2=x_0+t*p_1*p_2\)
即\(x\equiv x_0\quad(mod \quad p_1p_2)\)
将\(n\)个依次合并可得结果

可以看作\(x\)加上\(p_1p_2\)对式子没有影响，那么\(gcd(p_1,p_2)!=1\)的时候就加\(lcm(p_1,p_2)\)（最小公倍数）就好了
最终\(x\equiv x_0(mod \quad lcm(p_1,p_2...p_n))\)

二、举例

孙子算经：今有物不知其数，三三数之余二，无物数之余三，七七数之余二，问物几何？

\[\begin{cases} x\equiv 2(mod \quad 3) \\ x\equiv 3(mod \quad 5)\\ x\equiv2(mod\quad 7)\end{cases} \]

由前两式列得方程\(2+3k_1=3+5k_2\)得\(k_1'=2,k_2'=1,x_0=8\)

\[\begin{cases} x\equiv 8(mod \quad 15) \\ x\equiv 2 (mod \quad 7)\end{cases} \]

列得方程\(8+15k_1=2+7k_2\)得\(k_1'=1,k_2'=3,x_0=23\)
\(x\equiv 23(mod \quad 105)\)从而得出\(x=105k+23(k>=0)\)
例题：韩信点兵

三、用途

可以处理这种同余方程
也可以处理任意模数NTT

Code

注意我的代码和网上绝大部分博主的不一样
大部分人是把同余方程拆开，像数学一本通上面做的那样
而我的就是在模拟上面说的过程
其中调试了很久，原因在于我的乘法可能会乘爆\(long\ long\)
加上\(mul\)函数就好啦（我也不知道为什么，哪位dalao可以告诉我原理>_<）

//COGS1786 韩信点兵
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
ll N,m,P[11],a[11];
ll mul(ll x,ll y,ll m)
{
    x%=m;y%=m;
    return (x*y-(ll)((long double)x/m*y+0.5)*m+m)%m;
}
void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){x=a;y=0;return;}
	Exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
void CRT()
{
	ll x,y,c;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		Exgcd(P[i-1],-P[i],x,y);
		c=a[i]-a[i-1];
		P[i]=P[i-1]*P[i];
		a[i]=((a[i-1]+mul(mul(x,c,P[i]),P[i-1],P[i]))%P[i]+P[i])%P[i];
	}
	while(a[m]+P[m]<=N) a[m]+=P[m];
	if(a[m]>N) puts("-1");
	else printf("%lld\n",N-a[m]);
}
int main()
{
	freopen("HanXin.in","r",stdin);
	freopen("HanXin.out","w",stdout);
	cin>>N>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>P[i]>>a[i];
	CRT();
}