Catalan&Stirling数

Catalan&Stirling数

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Catalan数

\(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786...\)
定义式：

\[C[x+1]=C[0]C[x]+C[1]C[x-1]+C[2]C[x-2]...+C[x]C[0] \]

一、递推公式

\[C[n]=\frac{C[n-1]*(4*n-2)}{n+1}$$$$C[n]=\frac{C(2n,n)}{n+1}$$$$C[n]=C(2n,n)-C(2n,n-1) \]

二、应用举例

• 给定\(N\)个节点，能构成多少种不同的二叉树？（\(C[N]\)种，相当于钦定根之后左右子树有\(0..n\)中选择，用定义式解释）
• 售票处没有零钱，\(n\)个\(5\)元\(n\)个\(10\)元的人，多少种排列可以满足每次都可以给\(10\)元的找零？（\(C[n]\)种，出栈序列，用定义式解释）
• 在圆上选择\(2n\)个点,将这些点成对连接起来使得所得到的\(n\)条线段不相交的方法数？（\(C[n]\)种，相当于括号序列，左括号和右括号匹配，然后转化为出栈序列）

第一类Stirling数

此处只讨论无符号\(Stirling\)数

|s[n][k])|k=0|k=1|k=2|k=3|k=4|k=5|k=6|
|-|--|--|--|--|
|n=0|1||||
|n=1|0|1|||
|n=2|0|1|1|
|n=3|0|2|3|1|
|n=4|0|6|11|6|1|
|n=5|0|24|50|35|10|1|
|n=6|0|120|274|225|85|15|1|

一、定义

s[n][k]表示将n个不同的元素构成k个圆排列的方案数
定义式为（\(x^{n↑}\)表示\(x\)的\(n\)次上升幂）$$x^{n↑} =x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\ =s[n][0]+s[n][1]x+s[n][2]x^{2+...+s[n][n]*x}n$$

二、递推式

\[s[n][k]=s[n-1][k-1]+(n-1)*s[n-1][k]$$两种证明： 1、将第$n+1$个元素插入，那么可以新开一个圆$+s[n][k-1]$，或者插入原来的圆中$+n*s[n][k]$ 2、$x^{(n+1)↑}=x^{n↑}*(x+n)$通过这个式子得到 ###**三、性质** [dalao_blog](https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html) [baike_baidu](https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%9E%97%E6%95%B0/4938529) $$s[1][1]=1,s[n][0]=s[n][k]=0,(n>0,k>n)$$$$s[n][1]=(n-1)!$$$$\sum_{k=0}^{n}s[n][k]=n!\]

可以做下这题：HN2018省队集训 6.25T2

第二类Stirling数

|S[n][k])|k=0|k=1|k=2|k=3|k=4|k=5|k=6|
|-|--|--|--|--|
|n=0|1||||
|n=1|0|1|||
|n=2|0|1|1|
|n=3|0|1|3|1|
|n=4|0|1|7|6|1|
|n=5|0|1|15|25|10|1|
|n=6|0|1|31|90|65|15|1|

一、定义

表示n个有区别的球放入k个相同的盒子中的方案数
也就是将n个数拆成k个非空部分的方案数

二、递推式

\[S[n][k]=S[n-1][k-1]+k*S[n-1][k]$$意思为第$n$个球可以新开一个盒子也可以放在原来的盒子中 ###**三、计算式** $$S[n][k]=\frac{1}{k!}[k^n-C[k][1](k-1)^n+C[k][2](k-2)^n-...+(-1)^{k-1}C[k][k-1]1^n]$$也就是$$S[n][k]=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^iC[k][i](k-i)^n$$把组合数给拆掉$$S[n][k]=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i(k-i)^n}{i!(k-i)!}$$就**化成了卷积的形式了，可以用$NTT$在$O(nlogn)$时间内求得$S[n]$** 原理是把n个有区别的球放入k个有区别的盒子里的方案数是$k!S[n][k]$，也是至少有0个空盒的方案数-至少有1个空盒的方案数+至少有两个空盒的方案数......属于组合数类型的容斥 ###**四、拓展** 1、把$n$个**有**区别的球放入$k$个**有**区别的盒子里**不能**有空盒的方案数 2、把$n$个**无**区别的球放入$k$个**有**区别的盒子里**允许**有空盒的方案数 前者是$k!*S[n][k]$，表示盒子进行排列 后者是$C(n+k-1,n)$，相当于在$k$中元素中取$n$个作为允许重复的组合，可重组合公式见《组合数学》$P20$\]