一些概率公式
理解概率公式
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Tags：数学
一些术语
\(P(A)\)表示发生事件\(A\)的概率
\(P(AB)\)指又发生\(A\)又发生\(B\)的概率
\(P(A|B)\)指发生\(B\)的条件下发生\(A\)的概率
举个例子吧，今天早上多云的概率是\(50\%\)，早上多云的一天下雨的概率是\(70\%\)，那么
\(P(今天早上多云)=50\%\)
\(P(下雨|早上多云)=70\%\)
\(P(早上多云下雨)=35\%\)
条件概率公式
\[P(AB)=P(A)P(B|A)
\]
全概率公式
\[P(A)=\sum_{i=1}^{inf}{P(B_i)P(A|B_i)}
\]
其中$$\sum_{i=1}^{inf}B_i=1,B_i\cap B_j=\varnothing$$
就是说所有\(B\)事件的概率和为\(1\)且相互独立
贝叶斯公式
\[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}
\]
证明：$$P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$$
举例
Question:
假设
- 某病发生的概率是\(0.01\%\)
- 某病误诊的概率是\(1\%\)
如果某人诊断患病,求某人患病的概率
Answer:
令\(A\)表示得病，\(A_1\)表示没得病，\(B\)表示诊断患病
\[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}
\]
\[=\frac{0.01\%*99\%}{P(B|A)P(A)+P(B|A_1)P(A_1)}
\]
\[=\frac{0.01\%*99\%}{0.01\%*99\%+1\%*99.99\%}=0.98\%
\]
