Link Cut Tree 总结
Link-Cut-Tree
Tags：数据结构
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一、概述
\(LCT\)，动态树的一种，又可以\(link\)又可以\(cut\)
引用：http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8137553.html
二、题目
初步
进阶
变态
三、支持操作
I 维护联通性
维护两点联通性，较易，例题：Cave 洞穴勘测
II 维护树链信息
正是由于这个LCT可以代替树链剖分的关于链的操作（关于子树信息是无法做到的，感谢@cjfdf斧正「2018.2.25」）
运用\(split\)操作把\(x\)到\(y\)这条链抠出来操作
例题：【模板】Link Cut Tree
这是\(LCT\)的最大作用之一，几乎在每道题中都有体现
PS:树剖的常数小且相对容易调试，建议能写树剖则写（如“初步”的后三题，没有删边操作）
III 维护生成树
例题：“初步”中水管局长到温暖会指引我们前行
这里较为重要，理解需要时间
引入：一条路径的权值定义为该路径上所有边的边权最大值，问x到y的所有路径中，路径权值最小的路径的权值是多少，要求支持加边或删边，\(O(nlogn)\)求解
解决：
- 要求支持加边，那么每构成一个环就把环内最大边删掉，若支持删边则离线逆序处理
- 化边为点，每个\(splay\)节点记录\({fa,ch[2],rev,val,id,d1,d2}\)，分别表示父亲，孩子，翻转标记，该点权值（如果该点为边则为边权，如果为点那么最大生成树中值为\(inf\)，最小生成树中值为\(-inf\)），在该节点所在的\(splay\)中、以该节点为根的子树中权值最大（小）的点的编号，（若该节点表示边）与该边相连的两个点的编号
- 加入一条边\((x,y)\)的时候，判断\(x,y\)是否联通，若联通，\(split(x,y)\)，判断这条路径上的边权最大值（最小值）和所加入的边的边权的关系，再决定\(continue\)或\(cut\)再\(link\)
pushup片段
int Getmax(int x,int y){return t[x].val>t[y].val?x:y;}
void pushup(int x){t[x].id=Getmax(x,Getmax(t[lc].id,t[rc].id));}
IV 维护边双联通分量
例题：星球联盟、长跑
这里难懂，慢慢体会
解释：
边双联通，其实就是说有两条不想交的路径可以到达
这里表述也不是特别清楚，这两道题的意思是————把环缩点
两道题一句话题意：求x，y路径上点(超级点)的siz(val)之和
实现：
类似于\(Tarjan\)缩点，遇到环，暴力DFS把所有点指向一个标志点
在之后凡要用到一个点就x=f[x]
相当于踏入这个环就改成踏进这个超级点
能够保证\(DFS\)总复杂度为\(O(n)\)（虽然星球联盟暴力不缩点也可以过）
核心代码片段
//并查集find
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
//读进来的时候就改成超级点
int x=read(),y=read();x=find(x);y=find(y);
//goal为超级点
void DFS(int x,int goal)
{
if(lc)DFS(lc,goal);
if(rc)DFS(rc,goal);
if(x!=goal){f[x]=goal;siz[goal]+=siz[x];}
}
//每次访问点的时候都访问其find
void rotate(int x)
{
int y=find(t[x].fa),z=find(t[y].fa);
...
}
void Access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=find(t[x].fa)){splay(x);t[x].ch[1]=y;pushup(x);}}
...
V 维护原图信息
例题：大融合、动态树
难懂，烦请细细品味
解释：
- 先知道这几个名词和性质：
- A、实儿子：\(x\)在\(splay\)中的儿子
- B、虚儿子：与\(x\)在原图中有直接连边但和\(x\)不在同一棵\(splay\)中
- C、若在原图中\(x\)是\(y\)的父亲，且\(x\)，\(y\)不在同一棵\(splay\)中，那么\(y\)所在的\(splay\)的根的父亲指向\(x\)
- 再知道这几个要点：
- A、\(x\)与其实儿子在原图中不一定有直接连边
- B、上文讲到的维护树链的信息都是维护实儿子的信息
- C、\(x\)的实儿子信息包括了实儿子的虚儿子和实儿子的实儿子
- 那么在原图中的子树信息就可以这样求：Access(x)后返回x虚儿子的信息
实现
\(Access\)的目的是使得x没有实儿子，那么虚儿子便是原子树的信息
因为\(x\)的实儿子中有可能有点是原图中的儿子，那么只算虚儿子会算不全，都算会多算
以维护\(siz\)为例：
记录每个点的\(Rs\)表示虚儿子信息，\(siz\)表示实儿子和虚儿子的信息
需要改动的地方只有\(Access\)和\(link\)
核心代码片段
//要改变的两个操作
void Access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=t[x].fa)
{
splay(x);
t[x].Rs=t[x].Rs+t[rc].siz-t[y].siz;//把一个实儿子变成虚儿子要+t[rx].siz,把一个虚儿子变成实儿子要-t[y].siz
rc=y;pushup(x);
}
}
void link(int x,int y){makeroot(x);makeroot(y);t[x].fa=y;t[y].Rs+=t[x].siz;}//link要makeroot(y)因为连上x后y到该棵splay的根都有影响
注意的是这里调用的都是\(t[son].siz\)也就是\(son\)这棵子树所有的值，而不是这个点的值！！
由于这个原因共价大爷游长沙调试了半个小时
四、做题经验
1、辨别
如何看出一道题要用\(LCT\)————动态加/删边！
2、常数
只有加边操作时，维护两点是否联通请用并查集
\(findroot\)在以下题目会TLE：温暖会指引我们前行、长跑
3、所谓奇技淫巧
\[\sum_{l<=i<=r}deep(lca(i,z))
\]
这是[LNOI2014]LCA的题面，方法是在这个区间内每个点到根的路径+1,统计z到根的路径之和即为答案，处理区间时，很多时候用$$Ans(L,R)=Ans(R)-Ans(L-1)$$比如说还有这道题：2018.1.25区间子图(考试题)
代码
Luogu LCT模板
// luogu-judger-enable-o2
//注释详尽版本
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<set>
using namespace std;
int read()
{
char ch=getchar();
int h=0;
while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){h=h*10+ch-'0';ch=getchar();}
return h;
}
const int MAXN=300001;
set<int>Link[MAXN];
int N,M,val[MAXN],zhan[MAXN],top=0;
struct Splay{int val,sum,rev,ch[2],fa;}t[MAXN];
void Print()
{
for(int i=1;i<=N;i++)
printf("%d:val=%d,fa=%d,lc=%d,rc=%d,sum=%d,rev=%d\n",i,t[i].val,t[i].fa,t[i].ch[0],t[i].ch[1],t[i].sum,t[i].rev);
}
void pushup(int x)//向上维护异或和
{
t[x].sum=t[t[x].ch[0]].sum^t[t[x].ch[1]].sum^t[x].val;//异或和
}
void reverse(int x)//打标记
{
swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);
t[x].rev^=1;//标记表示已经翻转了该点的左右儿子
}
void pushdown(int x)//向下传递翻转标记
{
if(!t[x].rev)return;
if(t[x].ch[0])reverse(t[x].ch[0]);
if(t[x].ch[1])reverse(t[x].ch[1]);
t[x].rev=0;
}
bool isroot(int x)//如果x是所在链的根返回1
{
return t[t[x].fa].ch[0]!=x&&t[t[x].fa].ch[1]!=x;
}
void rotate(int x)//Splay向上操作
{
int y=t[x].fa,z=t[y].fa;
int k=t[y].ch[1]==x;
if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;//Attention if()
t[x].fa=z;//注意了
/*
敲黑板：这个时候y为Splay的根，把x绕上去后
x的父亲是z！表示这个splay所表示的原图中的链的链顶的父亲
这正是splay根的父亲表示的是链顶的父亲的集中体现！
*/
t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].fa=y;
t[x].ch[k^1]=y;t[y].fa=x;
pushup(y);
}
void splay(int x)//把x弄到根
{
zhan[++top]=x;
for(int pos=x;!isroot(pos);pos=t[pos].fa)zhan[++top]=t[pos].fa;
while(top)pushdown(zhan[top--]);
while(!isroot(x))
{
int y=t[x].fa,z=t[y].fa;
if(!isroot(y))
/*
这个地方和普通Splay有所不同：
普通的是z!=goal，z不是根的爸爸
这个是y!=root，y不是根
所以实质是一样的。。。
*/
(t[y].ch[0]==x)^(t[z].ch[0]==y)?rotate(x):rotate(y);
rotate(x);
}
pushup(x);
}
void Access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=t[x].fa){splay(x);t[x].ch[1]=y;pushup(x);}
/*
Explaination:
函数功能：把x到原图的同一个联通块的root弄成一条链，放在同一个Splay中
首先令x原先所在splay的最左端(x所在链的链顶)为u
那么x-u一定保留在x-root的路径中，那么直接断掉x的右儿子
然后y是上一个这么处理的链的Splay所在的根
在之前，y向x连了一条虚边(y的fa是x，x的ch不是y)
那么只要化虚为实就可以了
*/
}
void makeroot(int x)//函数功能：把x拎成原图的根
{
Access(x);splay(x);//把x和根先弄到一起
reverse(x);//然后打区间翻转标记，应该在根的地方打但是找不到根所以要splay(x)
/*
这里很神奇的一个区间翻转标记，那么从上往下是root-x，翻转完区间就是x-root
这样子相当于(这里打一个神奇的比喻)
一根棒子上面有一些平铺的长毛，原先是向上拉，区间翻转后就向下拉
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哈哈哈夸我～
*/
}
int Findroot(int x)//函数功能：找到x所在联通块的splay的根
{
Access(x);splay(x);
while(t[x].ch[0])x=t[x].ch[0];
return x;
}
void split(int x,int y)//函数功能：把x到y的路径抠出来
{
makeroot(x);//先把x弄成原图的根
Access(y);//再把y和根的路径弄成重链
splay(y);//那么就是y及其左子树存储的信息了
/*
关于这里为什么要splay(y):
可以发现，makeroot后x为splay的根
但是Access之后改变了根(这就是为什么凡是Access都后面跟了splay)
所以要找到根最方便就是splay，至于splayx还是y，都可以
*/
}
void link(int x,int y)//函数功能：连接x,y所在的两个联通块
{
makeroot(x);//把x弄成其联通块的根
t[x].fa=y;//连到y上（虚边）
Link[x].insert(y);Link[y].insert(x);
}
void cut(int x,int y)//函数功能：割断x,y所在的两个联通块
{
split(x,y);
t[y].ch[0]=t[x].fa=0;
Link[x].erase(y);Link[y].erase(x);
/*
这里会出现一个这样的情况：
图中x和y并未直接连边，但是splay中有可能直接相连
所以一定要用set(map会慢)维护实际的连边
不然会出现莫名错误(大部分数据可以水过去，但是subtask...)
*/
}
int main()
{
N=read();M=read();
for(int i=1;i<=N;i++)
t[i].sum=t[i].val=read();//原图中结点编号就是Splay结点编号
for(int i=1;i<=M;i++)
{
int op=read(),x=read(),y=read();
if(op==0)//x到y路径异或和
{
split(x,y);//抠出路径
printf("%d\n",t[y].sum);
}
if(op==1)//连接x,y
{
if(Findroot(x)^Findroot(y))
link(x,y);//x,y不在同一联通块里
}
if(op==2)//割断x,y
{
if(Link[x].find(y)!=Link[x].end())
cut(x,y);//x,y在同一联通块
}
if(op==3)//把x点的权值改成y
{
Access(x);//把x到根的路径设置为重链
splay(x);//把x弄到该链的根结点
t[x].val=y;
pushup(x);//直接改x的val并更新
}
//printf("i=%d\n",i);
//Print();
}
return 0;
}
