莫比乌斯反演总结

莫比乌斯反演

Tags：数学

引用

YYB：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7953803.html
YL：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8250019.html
ZSY：http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8186224.html

一、基本内容

《组合数学》P142写了详细内容，这里简单提一下：

Step1 Mobius函数

定义：

\[\mu(d)=\begin{cases} 1\quad \quad \quad d=1\\ {(-1)}^r \quad d=p1p2p3...pr\\ 0\quad \quad \quad 其他\end{cases} \]

定理：

对于任意正整数n，恒有$$\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \ 0 \quad n>1 \end{cases}$$

证明：

$n$为$1$的时候很好证明，$n>1$的如下
首先$n$转化为$n'$，$n={p1}^{a1}{p2}^{a2}...{pk}^{ak}$,$n'=p1p2...pk$。
那么对于$d$有$n|d$那么$\mu(d)$无贡献，推出$\mu(n)=\mu(n')$
在$k$个质数中选$0$个（偶数个系数是$1$，由定义得）$+C(k,0)$，选$1$个（奇数个系数是$-1$）$-C(k,1)$，最后的式子就是（组合数公式）

\[C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-...\pm C(k,k)=0 \]

Step2 Mobius反演

形式A：

\[g(x)=\sum_{d|x}f(d) \]

\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d) \]

形式B：

\[g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d) \]

\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})g(d) \]

这里给出形式$A$的证明

证明：

\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})\sum_{d'|d}f(d') \]

对于每一个$f(d')$，如果说它要被计算到，那么一定存在一个$d$使得$d|x$且$d'|d$
那么就是$\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}$，被计算的次数是$\mu(\frac{x}{d})$

\[f(x)=\sum_{d'|x}f(d')\sum_{\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}}\mu(\frac{x}{d}) \]

然后由上面的定理得出当且仅当$\frac{x}{d}$为$1$时$\mu(\frac{x}{d})$不为$0$，为$1$，进而

\[x=d,f(x)=\sum_{d'|1}f(d')=f(x) \]

形式$B$同理可证，核心思想是把贡献提出来

Step 3 举个例子

求:$$\sum_{i=1}^{{N}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)==1]$$

Way 1

令$$f(x)=\sum_{i=1}^{{N}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)==x]$$

\[g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}f(d) \]

那么（中括号内表示成立为$1$否则为$0$）$$g(x)=\sum_{x|d}^{{min(N,M)}\sum_{i=1}}\sum_{j=1}^{{M}[gcd(i,j)==d]$$$$=\sum_{i=1}}\sum_{j=1}^{M}[x|gcd(i,j)]=\lfloor\frac{N}{x}\rfloor\lfloor\frac{M}{x}\rfloor$$
进而$$f(x)=\sum_{x|d}^{{min(N,M)}\mu({\frac{d}{x}})g(d)$$$$f(1)=\sum_{i=1}}\mu(i)\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{i}\rfloor$$
加上数论分块可以$O(\sqrt{N})$完成（数论分块例题）

Way 2

由上面的莫比乌斯函数的定理可以知道$$[gcd(i,j)==1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$
所以说$$Ans=\sum_{i=1}^{{N}\sum_{j=1}}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$
提贡献：把$d$提到前面来$$Ans=\sum_{d=1}^{{min(N,M)}\mu(d)\sum_{d|i}}\sum_{d|j}^{{M}1$$即$$Ans=\sum_{d=1}}\mu(d)\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\lfloor\frac{M}{d}\rfloor$$

二、题目

1、练基础

2、刷提高

【BZOJ】完全平方数 https://ruanx.pw/bzojch/p/2440.html
【COGS】jzptab http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2031
【HDU】Mophues https://vjudge.net/problem/HDU-4746
【HDU】Code https://vjudge.net/problem/HDU-5212
【Luogu】YY的GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257
【COGS】[BZOJ4407]于神之怒加强版 http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2156

3、变态题

【Luogu】P3327 [SDOI2015]约数个数和（我的题解）https://www.luogu.org/problemnew/show/3327
【SNMOJ】[安师大]sanrd（我的题解） http://172.40.26.251/contest/55/problem/290
【SDOI2014】数表 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3312

三、做题经验

1、Mobius求解以下问题

$A、$[POI2007]ZAP-Queries（题解戳我）
　　$O(\sqrt{n})$求下式（预处理$O(n)$，还有拓展到$n$个$sigma$的Visible Lattice Points）

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k] \]

$B、$Gcd之和（题解戳我）
　　$O(n)$求下式（jzptab要求单次询问$O(\sqrt{n})$，题解戳我）

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \]

$C、$Crash的数字表格->单次$O(n)$求下式
　　jzptab->单次$O(\sqrt{n})$求下式（题解戳我）

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j) \]

$D、$Mophues（题解戳我/题解戳我）
　　$O(n\sqrt{n})$预处理并单次$O(\sqrt{n})$求下式，$Fact(i)$表示$i$唯一分解后不同质因子的个数

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[Fact(gcd(i,j))<=P] \]

$E、$Code（题解戳我）
　　构造函数单次$O(n\sqrt{n})$求下式，$A$为给定的一个数列，$A[i]<=1w$

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(A[i],A[j])*(gcd(A[i],A[j])-1) \]

$F、$约数个数和（题解戳我【自己写的】）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式，$d(i)$为$i$的约数个数详见引理$B$$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}d(ij)$$

$G、$YY的GCD（题解戳我）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)为质数?1:0]$$
$H、$Hillan and the girl（题解戳我）
　　$O(n)$或$O(nloglogn)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)为完全平方数?1:0]$$

$I、$于神之怒加强版（题解戳我）
　　$O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}gcd(i,j)^k$$

$J、$数字表格（题解戳我）
　　$O(nloglogn)$预处理并且单次询问$O(\sqrt{n})$，其中$Feb(i)$表示斐波那契数列第i项，$Feb(0)=0,Feb(1)=1...$$$\prod_{i=1}^{{n}\prod_{j=1}}Feb(gcd(i,j))$$

2、小套路

$A、\mu$只会用到$min(N,M)$所以筛的时候可以不用筛到$MAXN$(助力冲榜)
$B、$数论分块套路（当数论分块会比较麻烦的时候可以用$Map$）

数论分块$\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$：$[l,r]$的值一定，则$$r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor即r=n/(n/l)$$
数论分块$\lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor$：$[l,r]$的值一定，则$$r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor即r=sqrt(n/(n/l/l))$$
数论分块$\lfloor\sqrt{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}\rfloor$：$[l,r]$的值一定则$$r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor即r=n/(sqrt(n/l)*sqrt(n/l))$$
总结

用$n$和$l$表示$x$，然后尝试用$n$和$x$把$l$表示回去，就得到了$r$
$Sample1$    $x=\lfloor\frac{n}{l}\rfloor$，$l=\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$，$r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor$
$Sample2$    $x=\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor$，$l=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor$，$r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor$
$Sample3$    $x=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor$，$l=\lfloor\frac{n}{x^2}\rfloor$，$r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor$

$C、$提$gcd$套路（把$gcd$换成字母$d$，从枚举$i，j$改成枚举$d$）
$D、$提贡献套路(换元思想)：
　　令$T=id$然后把里面的$sigma$提取到外面，统计贡献
$E、$构造函数套路(Code)，不过不常用也很难想
$F、$线性筛积性函数，详见另一篇笔记《积性函数与线性筛》

3、注意事项

$A、$数据范围大的时候注意随时取模！！
$B、$有时候卡空间/时间，那么能用$int$尽量$int$，随时$1LL$

４、引理

$A、$$$\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$$　　令$n=a*(id)+b$，$b < id$
　　那么$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=a*d+\lfloor\frac{b}{i}\rfloor,\lfloor\frac{b}{i}\rfloor< d$
　　$\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=a=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$
　　
$B、$$$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$$
　　$d(x)$表示$x$的约数个数，如$d(6)=4$
　　任意$nm$的约数可以表示为$i*\frac{m}{j}$
　　如果$gcd(i,j)!=1$，可以令$i=k_1p,j=k_2p$，$i*\frac{m}{j}$表示的约数是$\frac{k_1}{k_2m}$，但是我们可以发现当$i=k_1,j=k_2$的时候就已经统计过这个约数了，再不懂可以手玩$4*6$
　　（Upd2018.8.15：公式写错了已更正 @Tyher）

有关原创文章

《线性筛》
《<约数个数和>题解》
《<安师大sanrd>题解》

Code

筛$\mu(x)$

void Mobius()
{
    mu[1]=1;ispri[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!ispri[i]) {pri[++tot]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+mu[i];
}

posted @ 2018-01-18 22:31 饕餮传奇阅读(399) 评论(3) 编辑收藏举报

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更博啦~密码的事详见《退役记》