线性规划的对偶问题

线性规划的对偶问题

Tags：数学

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对偶问题

$max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}$
引用这个博客里的例子：Blog

某工厂有两种原料A、B，而且能用其生产两种产品：
1、生产第一种产品需要2个A和4个B，能够获利6；
2、生产第二种产品需要3个A和2个B，能够获利4；
此时共有100个A和120个B，问该工厂最多获利多少？

用数学表达式描述如下：
已知：
$2×X1+3×X2≤100$
$4×X1+2×X2≤120$
求：
$6×X1+4×X2$的最大值
画出来是这样：

手动二分得，$X1=X2=20$时最大为$200$

工厂除了拿原料生产成产品卖掉这条出路外，还有一种方法是直接将原料卖掉。但是要求把原料卖掉赚的钱比生产成产品赚的钱多。那么最低可以接受多少的价格呢？假设资源A和B的单价分别为：Y1和Y2，那么可以用数学表达式描述如下：
已知：
$2×Y1+4×Y2≥6$
$3×Y1+2×Y2≥4$
求：
$100×Y1+120×Y2$的最小值
画出来是这样子

手动二分得最小值是$200$

再来看看这个式子

$max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}$
PS：$A^T$表示矩阵的转秩，也就是沿对角线翻折。小写字母都是列向量。
$c$：每种成品的收益
$x$：每种成品生产多少个
$A$：生产每种成品所需要的原料数
$b$：每种原料的总个数
$y$：直接卖原料、每种原料的价格

大概能够理解了？

关于对偶问题的性质

• 对偶问题的对偶问题是原问题
• 两问题的最优解相等
• 两问题的可行解，显然对于上式左边要小于等于右式

题目

看这题