区间操作杂谈

              <p>本文从易到难 <del>（大概）</del> 介绍了一些区间上的经典操作</p>

1.一些线段树水题

查询可合并信息、单点修改/区间修改、区间查询

其中的“可合并信息”可以是 加法、乘法、位运算 及其组合。

前者为线段树板子，不再赘述。

水经验：

区间加，区间查询：P3372 【模板】线段树 1

区间加、乘，区间查询：P3373 【模板】线段树 2

区间修改、区间加、区间求 $max$：P1253 扶苏的问题

重点在于后者，这里给出 （瞎编） 了几道题：

1.

维护长度为 n 的序列，支持区间加，询问区间方差。

方差的定义：

$$s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$$

其中 $\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

稍微化一下式子：

$$s^2=\frac{1}{n}(\sum x_i^2-\sum 2x_i\overline{x}+\sum {\overline{x}}^2)$$

$$=\frac{1}{n}(\sum x_i^2-2\overline{x}\cdot n\overline{x}+n{\overline{x}}^2)$$

$$=\frac{1}{n}\sum x_i^2-2{\overline{x}}^2+{\overline{x}}^2$$

$$=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\overline{x}}^2$$

于是只需维护 区间和 以及 区间平方和 即可。

考虑怎么维护 区间加：

对于 区间和，直接加上即可；

对于 区间平方和，每一项由 $\sum x_i^2$ 变为 $\sum (x_i+v{)}^2$ 即 $\sum x_i^2+2v\sum x_i+v^2$。

那么一次 区间加 对 区间平方和 的影响为 $2v\sum x_i+v^2$。

于是每次 区间加 的时候对 区间平方和 加上这部分即可。

题目：

P5142 区间方差

P1471 方差

P2122 还教室

2.

维护长度为 n 的序列，支持区间加，询问区间内所有有序数对两数乘积之和。

其实就是求

$$\sum _{i\in [l,r]}\sum _{j\in [i+1,r]}{a}_i{a}_j$$

的值。

交换下求和顺序：

$$(\sum _{i\in [l,r]}{a}_i)(\sum _{j\in [i+1,r]}{a}_j)$$

首先觉得这个式子不顺眼，将其乘二：

$$(\sum _{i\in [l,r]}{a}_i)(\sum _{j\in [l,i-1]\cup [i+1,r]}{a}_j)$$

觉得 $j$ 后面那坨东西不好看，加上 $\sum a_i^2$ 把它去掉：

$$(\sum _{i\in [l,r]}{a}_i)(\sum _{j\in [l,r]}{a}_j)$$

也就是：

$$(\sum _{i\in [l,r]}{a}_i{)}^2$$

于是题目就是求：

$$\frac{1}{2}((\sum _{i\in [l,r]}{a}_i{)}^2-\sum _{i\in [l,r]}{a}_i^2)$$

于是维护下 区间和 以及 区间平方和 就行了。

3.

P4513 小白逛公园

维护长度为 n 的序列，支持单点修改，查询区间内最大子段和。

经典题。

“最大子段和”显然不是一个可合并信息。

于是考虑将其拆分成几个可合并信息。

大力分类讨论：当前区间的最大子段和 越过/未越过 两个子区间分界线。

如果未越过分界线，取两个子区间的 最大子段和 即可；

如果越过分界线，将这个最大子段从分界线处分开，拆分成 左子区间的右起最大子段和 + 右区间的左起最大子段和。

如果能维护出右起最大子段和和左起最大子段和，就能计算出两种情况的最大子段和，当前区间的最大子段和就分别它们取 $max$ 即可。

接下来只需考虑区间内右起最大子段和和左起最大子段和怎么维护。

再大力分类讨论：当前区间的右起最大子段和越过/未越过 两个子区间分界线。

如果未越过分界线，取右区间右起最大子段和；

如果越过分界线，取左区间右起最大子段和+右区间区间和。

左起最大子段和同理。

于是一个区间需要维护 $4$ 个信息：最大子段和，右起最大子段和,左起最大子段和，区间和。

4.

P3792 由乃与大母神原型和偶像崇拜

单点修改，查询区间 [l,r] 是否可以重排为值域上连续的一段

判断问题是比查询问题要简单的，于是考虑乱搞做法：

显然的，如果 $[l,r]$ 符合要求，那么重排序列为 $\underset{i\in [l,r]}{min}\{a_i\},...,\underset{i\in [l,r]}{max}\{a_i\}$。

首先判断这个重排序列的长度，其次判断这个序列的一个与顺序无关的特征。

可以取区间和以及区间平方和，当然也可以取区间异或和之类的乱搞判断，本质就是一种与顺序无关的哈希。

区间平方和判断时注意值域溢出。

5.

P2056 [ZJOI2007] 捉迷藏

给出一棵 N 个有色(黑白，黑色对应关灯，白色对应开灯)节点的树以及 M 次操作，
每次操作将改变一个节点的颜色或者求出树上最远的两个黑点距离

实际上就是求所有黑点构成树的直径。

对编号为 $1\sim n$ 的点建线段树，线段树上区间 $[l,r]$ 维护这些点构成树的直径长度。

考虑如何合并信息：设左区间为 $[l,mid]$，右区间为 $[mid+1,r]$，合并后新区间的直径两端点定为 左区间及右区间的直径两端点 共四个点其中之一。

于是线段树上维护 [l,r] 这些点组成的树的直径长度，直径两端点，然后暴力合并即可。

单点修实现显然。

后记：实际上这题正解是淀粉树，但我不会。

类似的题但我不会写（动态维护直径满血版）：P6845 [CEOI2019] Dynamic Diameter

一些题：

如题：P6327 区间加区间 sin 和

区间加等差数列，单点查询：P1438 无聊的数列

挺有意思的题：P4588 [TJOI2018] 数学计算

同上：P8862 「KDOI-03」还原数据

2. 一些杂题

P1972 [SDOI2009] HH的项链

给定一序列 a，每次询问区间内数字种类数。

经典题。

一个经典而巧妙的 trick：对第 $i$ 个数维护 $pr{e}_i$，表示 在 $[1,i-1]$ 内满足 $a_j=a_i$ 的最大 $j$（上一个 $a_i$ 出现的位置）如果 $j$ 不存在，就令 $pr{e}_i=0$。

询问一段区间内数字种类数，等价于一段区间内第一次出现的数的个数（废话）。

因次我们无需关心重复出现的数的个数，只需关心第一次出现的数的个数。

而如果一个数 $a_i$ 在区间内第一次出现，那么它的前一个数的位置 $pr{e}_i$ 一定在区间之前 或 不存在。即 $pr{e}_i\in [1,l-1]$ 或 $pr{e}_i=0$。

那么 区间数的个数 = 区间第一次出现的数的个数 = 区间内 $pr{e}_i\in [0,l-1]$ 的个数，也就是 $\sum _{i\in [l,r]}[pr{e}_i\in [0,l-1]]$。

用主席树简单维护下就没了。

双倍经验

P2048 [NOI2010] 超级钢琴

求区间内长度在 [L,R] 内的前 k 大子段和 的总和。

先考虑怎么维护区间最大子段和：

直接正面硬刚不怎么好做，考虑维护一个前缀和。

对于一个子段 $[l,r]$，其子段和为 $s_r-s_{l-1}$，那么以 $l$ 为左端点的区间最大子段和在 $s_r$ 取最大值时取到。

由于 $r\in [l+L-1,min\{l+R-1,n\}]$，于是可以通过维护区间最大值来确定 $l$ 为左端点的区间最大子段和。扫一遍全体取 $max$ 就得到了区间最大子段和。

然后考虑怎么维护前 $k$ 大子段和：

对于每一个左端点，维护一个三元组 $(l,r_l,r_r)$，分别表示当前左端点 以及 右端点的范围，这样每个最大子段和都唯一对应了一个三元组。

先枚举左端点把初始的三元组 $(l,l+L-1,min\{l+R-1,n\})$ 都扔进堆里面，按区间最大子段和排序。

每次取出当前最大子段和对应的三元组 $(l,r_l,r_r)$，同时维护最大值取到的位置 $pos$，记录贡献的同时将区间拆为 $(l,r_l,pos-1)$ 和 $(l,pos+1,r)$，重新扔进堆里面。

插入与弹出的数个数是 $O(k)$ 级别的，每次插入需要 $O(\log n)$ 计算区间最大值，同时 $O(\log k)$ 堆维护信息，$k$ 与 $n$ 同阶，总体复杂度大概是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的。

当然也可以用 $ST$ 表使 $RMQ$ 的部分优化到 $O(n\log n)-O(1)$，但没必要。

口胡另外一个做法：对每个左端点 $l$ 维护一个数 $cn{t}_l$，初始均为 $1$，表示查询以 $l$ 为左端点的区间第 $cn{t}_l$ 大的值。于是就转化为了一个区间第 $k$ 大问题，用主席树维护即可。

未完待续...