字符串科技

你说的对，但字符串或串(String)是由数字、字母、下划线组成的一串字符。一般记为 s="a1a2···an"(n>=0)。它是编程语言中表示文本的数据类型。在程序设计中，字符串（string）为符号或数值的一个连续序列，如符号串（一串字符）或二进制数字串（一串二进制数字）。

字符串匹配

你说的对，但字符串匹配是计算机科学中最古老、研究最广泛的问题之一。一个字符串是一个定义在有限字母表∑上的字符序列。例如，ATCTAGAGA是字母表∑ = {A,C,G,T}上的一个字符串。字符串匹配问题就是在一个大的字符串T中搜索某个字符串P的所有出现位置。其中，T称为文本，P称为模式，T和P都定义在同一个字母表∑上。

一些定义：

字符串匹配：又称模式匹配（pattern matching）。该问题可以概括为「给定字符串 $S$ 和 $T$，在主串 $S$ 中寻找子串 $T$」。字符 $T$ 称为 模式串 (pattern)。

暴力做法：从主串 $S$ 的每个位置开始与模式串 $T$ 向后匹配，若匹配不成功，则从主串下一个位置与模式串重新匹配。

时间复杂度：$O(nm)$

实际上暴力算法在随机数据下表现良好——匹配成功的字符数量越多，匹配的概率越低。

但卡到 $O(nm)$ 也很容易(

KMP 算法

主要思想：充分利用匹配失败的信息，跳过某些已经判断为匹配失败的位置。

如果字符串 $s$ 的长度为 $d$ 的前缀 $(1\le d<|s|)$ 和长度为 $d$ 的后缀相等，称这个前缀是 $s$ 的一个 border ，将前缀 $s[1\dots i]$ 的最长 border 长度记作 $next(i)$。

border 的性质：$s[1\dots i]$ 的所有 border 长度分别为 $next(i),next(next(i)),next(next(next(i)))...$。

如果当前已经成功匹配了 $i$ 个字符，且第 $i+1$ 个字符不匹配，那么根据 $next(i)$ 的定义，主串 $S$ 中从后往前数 $next(i)$ 位也一定都与模式串 $T$ 中 $1\sim next(i)$ 位匹配。

于是将 $T$ 上匹配指针从 $i$ 转到 $next(i)$，再与 $S$ 的字符匹配。

有点抽象，举个栗子：

S ABABABC
T ABABC

算出 $next(i)$：

next 0 0 1 2 0

第一次匹配失败：

S ABAB.ABC
T ABAB.C
next 0 0 1 2 0

将 $T$ 上匹配指针从 $4$ 转到 $next(4)$，继续匹配：

S ABABABC
T   ABABC
next 0 0 1 2 0

匹配成功。

这样做是 $O(n)$ 的，因为 $j$ 只能在匹配成功时增加 $1$，最多增加 $n$ 次，从而最多减少 $n$ 次，也就是嵌套 $next(i)$ 最多 $n$ 次。

于是问题就在于如何快速求出 $next(i)$。

暴力求显然不现实，考虑线性递推。

已知 $next(1)\sim next(i)$，考虑如何计算出 $next(i+1)$：

令 $j=next(i)+1$

如果 $s[j]$ 与 $s[i+1]$ 不相等，就让 $next(j)\to j$，直至 $s[j]$ 与 $s[i+1]$ 相等，此时 $next(i+1)=next(j)+1$。

发现计算 $next(i)$ 的过程实际上就是 $S$ 与本身匹配。