COMPFEST 15 - Preliminary Online Mirror 补题

A Ambitious Kid

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题面翻译

给定一个 $N(1\le N\le {10}^5)$，给定一个数组 $A_i$，每次可以让一个数 $+1/-1$，求至少多少次操作能使 $A_1\times A_2\times A_3\times \cdots \times A_N=0$。

Sol

签到题。

答案是所有数绝对值最小的那个。

B Completely Searching for Inversions

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题面翻译

给定一个有 $N$ 个结点的有向无环图。结点 $i$ 的出度为 $S_i$。结点 $i$ 的第 $j$ 条出边指向 $L_{i,j}$，边权为 $W_{i,j}(0\le W_{i,j}\le 1)$。给出的图保证从结点 $1$ 出发可以到达所有结点。

给定初始为空的数组 $Z$。

定义函数 $\mathtt{\text{dfs}}$ 如下：

// 以结点 i 为起点进行 dfs
void dfs(int i) {
    // 遍历 i 的每条出边
    for(int j = 1; j <= S[i]; j++) {
        Z.push_back(W[i][j]); // 将当前边的边权加入数组 Z 的末尾
        dfs(L[i][j]); // 从下一个结点继续 dfs
    }
}

请注意，以上函数并没有记录经过的结点，所以有些结点可能被经过不止一次。

在主函数中，程序调用了一次 $\mathtt{\text{dfs(1)}}$，得到了一个只包含 $0$ 和 $1$ 的数组 $Z$。请你求出数组 $Z$ 的逆序对数。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模的值。

Sol

考虑暴力时重复的子问题：dfs 过程中一个点会被经过多次，于是考虑优化掉这部分。

发现从一个节点往下 dfs，对 $Z$ 序列的新增区间相同，新产生的贡献 = 新增区间逆序对个数 + 原 $Z$ 序列 $1$ 的个数 $\times$ 新增区间 $0$ 的个数。

于是对于 $DAG$ 上的每一个点，用 $O(n)dfs$ 维护出 从该点遍历对 $Z$ 序列新增区间中 $0$ 的个数/$1$ 的个数/逆序对个数，然后按儿子合并即可。