并不对劲的字符串专题(二):kmp
据说这些并不对劲的内容是《信息学奥赛一本通提高篇》的配套练习。
先感叹一句《信息学奥赛一本通提高篇》上对kmp的解释和matrix67的博客相似度99%(还抄错了),莫非matrix67藏在编者之中?
但这不重要,因为并不对劲的人不会对kmp作出任何解释。
课后练习:
可以将题目中给出的字符串看成形如这样的串:
那么,对于其中的某一位:
它到当前前缀的第二个循环节的开始组成的子串和前缀相等:
所以,对于当前位置x,fail[x]就是它到当前前缀的第二个循环节的开始组成的子串的长度,x-fail[x]就相当于字符串的开始到当前前缀的第二个循环节的开始的长度,也就是一个循环节的长度:
但是,随着x增大,x-fail[x]不降,所以对于长度为n的串,答案就是n-fail[n]。
代码就是求fail指针就行了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1000010 int fa[maxn],n,ans; char s[maxn]; int main() { scanf("%d%s",&n,s+1); fa[0]=-1,fa[1]=0;ans=1; for(int i=2;i<=n;i++) { int u=i-1; while(u&&s[fa[u]+1]!=s[i])u=fa[u]; if(u)fa[i]=fa[u]+1; else fa[i]=0; } printf("%d",n-fa[n]); return 0; }
并不能读懂题面,求大佬帮助。
题目中要找形如A+B+A的子串,所以可以枚举左端点,再算出每个右端点是否可行。
首先,固定左端点后,求出fail指针。对于fail[x]*2<x的,肯定是没问题了(如图):
对于fail[x]*2>=x的呢?会发现,1到fail[x]的子串和x-fail[x]+1到x的子串一样,1到fail[fail[x]]的子串和fail[x]-fail[fail[x]]+1到fail[x]的子串一样,所以1到fail[fail[x]]的子串和x-fail[fail[x]]+1到x的子串一样。那么就可以顺着fail指针往上找,直到长度*2<x且长度>=k。
不断顺着fail指针往上找的过程听上去很暴力,这题本来就很暴力了,就要避免这种暴力的。发现对于点x求出合法解为y后,对于x在fail树所有子孙,就都是合法的了。那么可以标记x,这样计算x在fail树所有子孙时,走到x就可以停了。
这个优化听上去很扯,它还是O(n2)的,但是15000的数据还是过了,是因为kmp常数小的缘故?
#include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iomanip> #include<iostream> #include<map> #include<stack> #include<set> #include<queue> #define maxn 15010 using namespace std; int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')f=-1,ch=getchar(); while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } void write(int x) { int f=0;char ch[20]; if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;} if(x<0){putchar('-'),x=-x;} while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10; while(f)putchar(ch[f--]); putchar('\n'); } int ans,k,fa[maxn],n,lst[maxn]; char s[maxn]; void rebuild() { for(int i=1;i<n;i++)s[i]=s[i+1]; n--; } int main() { scanf("%s%d",s+1,&k); n=strlen(s+1); for(;n>=(k<<1|1);) { fa[1]=0,fa[0]=-1;lst[0]=lst[1]=-1; for(int i=2;i<=n;i++) { lst[i]=-1; int u=i-1; while(s[fa[u]+1]!=s[i]&&u)u=fa[u]; if(!u)fa[i]=0; else fa[i]=fa[u]+1; } for(int i=1;i<=n;i++) { int u=fa[i]; while((u<<1|1)>i&&fa[u]>=k){if(lst[u]!=-1)u=lst[u];else u=fa[u];} //cout<<u<<endl; if((u<<1|1)<=i&&u>=k) lst[i]=u,ans++; //cout<<lst[i]<<" "; } //cout<<"+++"<<endl; rebuild(); } write(ans); return 0; } /* aaaaa 1 */
先想一个比较暴力的:让一个指针k从头往后扫S,每次判断长度为|T|的后缀是否等于T。
这个的时间复杂度是O(|S|*|T|),发现判断长度为|T|的后缀是否等于T有点像kmp。
那么就可以再维护一个指针p,表示T中走到的位置。对于S的每一位,开一个数组记录k走到这里时p走到的位置。
每当p走到T的结尾时,k退回|T|前的位置,p变成之前记录的k走到该点时p的位置。
#include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iomanip> #include<iostream> #include<map> #include<set> #include<stack> #include<queue> #define maxn 1000010 using namespace std; char s[maxn],t[maxn]; int fa[maxn],mat[maxn],top,ns,nt,ans[maxn]; void go(int & u,char c) { while(t[u+1]!=c){u=fa[u];if(!u)break;} if(t[u+1]==c)u++; else u=0; } int main() { //freopen("censor.in","r",stdin); //freopen("censor.out","w",stdout); scanf("%s%s",s+1,t+1); ns=strlen(s+1),nt=strlen(t+1); fa[1]=0; for(int i=2;i<=nt;i++) { int u=i-1; while(t[fa[u]+1]!=t[i]&&u)u=fa[u]; if(!u)fa[i]=0; else fa[i]=fa[u]+1; } int u=0; for(int i=1;i<=ns;i++) { go(u,s[i]); mat[i]=u; ans[++top]=i; if(u==nt) { top-=nt; u=mat[ans[top]]; } } //for(int i=1;i<=ns;i++)cout<<mat[i]<<" ";cout<<endl; for(int i=1;i<=top;i++)putchar(s[ans[i]]); return 0; }